Linearität zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Fr 11.12.2015 | | Autor: | Audin |
| Aufgabe | Sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeigen Sie, dass jede Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] V$ für die
[mm] $f(v)\cdot [/mm] f(w) = [mm] v\cdot w\, \forall v,w\in [/mm] V$ gilt, eine lineare Abbildung und somit ein Element aus $O(V)$ ist. |
Grundsätzlich muss man ja nur die Definition für eine Lineare Abbildung nachrechnen, also ist z.z., dass gilt:
[mm] $f(v+w)=f(v)+f(w)\, \forall v,w\in [/mm] V$
und
[mm] $f(\lambda\cdot v)=\lambda\cdot [/mm] f(v) [mm] \forall \lamda \in \IK \forall v\in [/mm] V $.
Mein Problem bei der Aufgabe besteht in der Definition der Abbildung.
Ich weiss ja nur etwas über das Skalarprodukt.
Könnte ich nun einfach sagen, sei [mm] $v,v''\in [/mm] V$, dann gilt
[mm] $f(v+v')\cdot [/mm] f(v+v') = (v+v') [mm] \cdot [/mm] (v+v') = [mm] (f(v)+f(v'))\cdot [/mm] (f(v)+f(v'))$
und
[mm] $f(\lambda\cdot v)\cdot f(\lambda\cdot [/mm] v) = [mm] (\lambda\cdot [/mm] v) [mm] \cdot (\lambda\cdot [/mm] v) = [mm] (\lambda\cdot [/mm] f(v)) [mm] \cdot (\lambda [/mm] f(v))$.
Es ist also egal ob ich das skalarprodukt von f(v+v') oder von f(v)+f(v') betrachte.
Und da es meine einzige Bedingung an die offensichtlich lineare Abbildung ist (muss linear sein, da [mm] $f\in [/mm] O(V)$).
Letzteres bleibt ja noch zu zeigen, da aber für [mm] $v,w\in [/mm] V$ gilt:
[mm] $\|f(v)\cdot f(w)\| [/mm] = [mm] \|v\cdot w\| \Rightarrow f\in [/mm] O(V)$
Also letzteres ist trivial, genauso wie die linearität eigentlich relativ offensichtlich ist.
Es wäre nett wenn mir jmd. sagen könnte, ob das ganze so korrekt ist oder ob ich das nicht so machen darf. Falls nicht, dann wüsste ich gerne warum man dies nicht so machen darf.
Vielen dank schonmal im vorraus,
mfg. Audin :)
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Hiho,
> Und da es meine einzige Bedingung an die offensichtlich
> lineare Abbildung ist (muss linear sein, da [mm]f\in O(V)[/mm]).
das sollst du doch gerade zeigen!
> Also letzteres ist trivial, genauso wie die linearität eigentlich relativ offensichtlich ist.
Na dann zeige sie doch!
Wieso sollte f nun linear sein?
Habe dazu bisher noch kein valides Argument gelesen....
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Fr 11.12.2015 | | Autor: | Audin |
> Hiho,
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> > Und da es meine einzige Bedingung an die offensichtlich
> > lineare Abbildung ist (muss linear sein, da [mm]f\in O(V)[/mm]).
>
> das sollst du doch gerade zeigen!
>
>
> > Also letzteres ist trivial, genauso wie die linearität
> eigentlich relativ offensichtlich ist.
>
> Na dann zeige sie doch!
>
> Wieso sollte f nun linear sein?
Naja, weil für [mm] $\lambda\in \IK$ [/mm] und [mm] $v,v'\in [/mm] V$ gilt:
[mm] $f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot [/mm] v') = [mm] (v+\lambda\cdot v')\cdot (v+\lambda\cdot [/mm] v') = [mm] (f(v)+\lambda\cdot f(v'))\cdot (f(v)+\lambda\cdot [/mm] f(v'))$.
Also ist [mm] $f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot [/mm] v') = [mm] (f(v)+\lambda\cdot f(v'))\cdot (f(v)+\lambda\cdot [/mm] f(v')) [mm] \forall v,v'\in [/mm] V$ und [mm] $\lambda\in \IK$ [/mm] und somit [mm] $f(v+\lambda\cdot [/mm] v')= [mm] f(v)+\lambda\cdot [/mm] f(v')$.
> Habe dazu bisher noch kein valides Argument gelesen....
Also das wäre meine Argumentation.
> Gruß,
> Gono
Gruß,
Audin
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Hiho,
> > Wieso sollte f nun linear sein?
>
> Naja, weil für [mm]\lambda\in \IK[/mm] und [mm]v,v'\in V[/mm] gilt:
>
> [mm]f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot v') = (v+\lambda\cdot v')\cdot (v+\lambda\cdot v') = (f(v)+\lambda\cdot f(v'))\cdot (f(v)+\lambda\cdot f(v'))[/mm].
Warum sollte die letzte Gleichheit gelten?
> Also ist [mm]f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot v') = (f(v)+\lambda\cdot f(v'))\cdot (f(v)+\lambda\cdot f(v')) \forall v,v'\in V[/mm]
> und [mm]\lambda\in \IK[/mm]
Das wäre dann so.
> und somit [mm]f(v+\lambda\cdot v')= f(v)+\lambda\cdot f(v')[/mm].
Warum?
Das ist eine Behauptung von dir und nicht belegt.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Fr 11.12.2015 | | Autor: | Audin |
> Hiho,
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> > > Wieso sollte f nun linear sein?
> >
> > Naja, weil für [mm]\lambda\in \IK[/mm] und [mm]v,v'\in V[/mm] gilt:
> >
> > [mm]f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot v') = (v+\lambda\cdot v')\cdot (v+\lambda\cdot v') = (f(v)+\lambda\cdot f(v'))\cdot (f(v)+\lambda\cdot f(v'))[/mm].
>
> Warum sollte die letzte Gleichheit gelten?
Ah ich sehe schon, das war totaler quatsch. Ich weiss ja nur das die Skalarprodukte gleich sind, nicht aber was meine Abbildung konkret macht.
>
> > Also ist [mm]f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot v') = (f(v)+\lambda\cdot f(v'))\cdot (f(v)+\lambda\cdot f(v')) \forall v,v'\in V[/mm]
> > und [mm]\lambda\in \IK[/mm]
>
> Das wäre dann so.
>
> > und somit [mm]f(v+\lambda\cdot v')= f(v)+\lambda\cdot f(v')[/mm].
>
> Warum?
> Das ist eine Behauptung von dir und nicht belegt.
Da muss ich mir wohl erst einmal etwas neues überlegen.
Danke schonmal.
> Gruß,
> Gono
Gruß,
Audin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:56 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Audin |
> Hiho,
>
> > > Wieso sollte f nun linear sein?
> >
> > Naja, weil für [mm]\lambda\in \IK[/mm] und [mm]v,v'\in V[/mm] gilt:
> >
> > [mm]f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot v') = (v+\lambda\cdot v')\cdot (v+\lambda\cdot v') = (f(v)+\lambda\cdot f(v'))\cdot (f(v)+\lambda\cdot f(v'))[/mm].
>
> Warum sollte die letzte Gleichheit gelten?
Ich glaube jetzt das es doch so funktioniert. Die Gleichheit gilt weil:
[mm] $f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot [/mm] v') $
$= [mm] (v+\lambda\cdot v')\cdot (v+\lambda\cdot [/mm] v') $
$= [mm] v\cdot [/mm] v + [mm] v\cdot [/mm] v' + v' [mm] \cdot [/mm] v + [mm] v'\cdot [/mm] v' $
$= [mm] f(v)\cdot [/mm] f(v) + [mm] 2\cdot f(v)\cdot [/mm] f(v') + [mm] f(v')\cdot [/mm] f(v') $
[mm] $\overset{bino.}= (f(v)+f(v'))\cdot [/mm] (f(v)+f(v')) $
[mm] $f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot [/mm] v')= [mm] (f(v)+f(v'))\cdot [/mm] (f(v)+f(v')) [mm] (\star)$
[/mm]
>
> > Also ist [mm]f(v+\lambda\cdot v')\cdot f(v+\lambda\cdot v') = (f(v)+\lambda\cdot f(v'))\cdot (f(v)+\lambda\cdot f(v')) \forall v,v'\in V[/mm]
> > und [mm]\lambda\in \IK[/mm]
>
> Das wäre dann so.
>
> > und somit [mm]f(v+\lambda\cdot v')= f(v)+\lambda\cdot f(v')[/mm].
>
> Warum?
> Das ist eine Behauptung von dir und nicht belegt.
Mh ja ich muss zugeben, dass dies auch nur intuitv so war. Aber reicht es nicht wenn obrige gleichheit [mm] (\star) [/mm] gilt?
Denn das ist ja grade die eigenschaft die meine Abbildung ausmacht.
> Gruß,
> Gono
Gruß,
Audin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Sa 12.12.2015 | | Autor: | hippias |
Du hast in Deinem Argument die Voraussetzung [mm] $f(v)\circ [/mm] f(w)= [mm] v\circ [/mm] w$ benutzt, sowie die Bilinearitaet der Multiplikation [mm] $\circ$; [/mm] sonst nichts weiter.
Wenn das Argument ausreichend wäre, dann müsste für jeden Raum $V$, endlich oder unendlich dimensional, über einen beliebigen Körper mit beliebigem bilinearen Funktional [mm] $\circ$ [/mm] und beliebiger Funktion [mm] $f:V\to [/mm] V$ gelten: wenn für alle $v,w$ gilt, dass [mm] $f(v)\circ [/mm] f(w)= [mm] v\circ [/mm] w$, so ist $f$ linear.
Das ist aber offensichtlich falsch, denn für das triviale bilineare Funktional [mm] $v\circ [/mm] w:= 0$, [mm] $v,w\in [/mm] V$, erfüllt jede Funktion $f$ die Gleichung [mm] $f(v)\circ [/mm] f(w)= [mm] v\circ [/mm] w$. Aber nicht jede Funktion ist linear.
Um die Behauptung sauber zu beweisen wirst Du spezielle Eigenschaften des euklidischen Raumes benutzen müssen.
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Hiho,
bisher alles korrekt was du geschrieben hast.
Mache dir mal klar, was du zeigen willst, nämlich:
$f(v + w) = f(v) + f(w)$
oder äquivalent dazu:
$f(v + w) - f(v) - f(w) = 0$
Du willst also zeigen, dass obiges Element für beliebige v,w Null ist.
Jetzt überlege mal ganz scharf, welchen Zusammenhang du zwischen der Null und dem Skalarprodukt kennst, welches die Null eindeutig auszeichnet.
Zeige diese Eigenschaft dann für $f(v + w) - f(v) - f(w)$
Gruß,
Gono
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