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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Linearkombination
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Linearkombination: Darstellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Sa 23.12.2006
Autor: Xabora

Aufgabe
Seien x = [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 2}, [/mm] y = [mm] \vektor{2 \\ 0\\ 2} [/mm] z = [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 4}, [/mm]
a = [mm] \vektor{0 \\ 2\\ 2}, [/mm] b = [mm] \vektor{2 \\ 2\\ 1}. [/mm]
Ist {x,y,z} ein Erzeugendensystem des R³? Wie sind gegebenenfalls die Vektoren a und b als Linearkombination von x,y,z darstellbar?

Hallo, der erste Teil der Aufgabenstellung ist mir klar und ich konnte feststellen, dass Vektor x,y,z ein Erzeugendensystem des R³ ist, da sie alle drei linear unabhängig sind. Dies konnte ich aus dem Rang der Matrix schließen bzw. aus einem LGS.

Nur der zweite Teil macht mir Kopfzerbrechen. Wie soll ich mit zwei Vektoren (also 2-D-Raum) einen 3 dimensionalen Raum mit x,y,z darstellen?

Darf man sich zur Lösung des Problemes einen weiteren Vektor ausdenken, nur mit entsprechenden Koeffizienten oder wie geht man am besten an die Sache ran?


Vielen Dank für eure Vorschläge/Lösungsansätze

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Linearkombination: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:28 Sa 23.12.2006
Autor: M.Rex

Hallo

> Seien x = [mm]\vektor{1 \\ 1\\ 2},[/mm] y = [mm]\vektor{2 \\ 0\\ 2}[/mm] z =
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 4},[/mm]
>  a = [mm]\vektor{0 \\ 2\\ 2},[/mm] b =
> [mm]\vektor{2 \\ 2\\ 1}.[/mm]
>  Ist {x,y,z} ein Erzeugendensystem des
> R³? Wie sind gegebenenfalls die Vektoren a und b als
> Linearkombination von x,y,z darstellbar?
>  Hallo, der erste Teil der Aufgabenstellung ist mir klar
> und ich konnte feststellen, dass Vektor x,y,z ein
> Erzeugendensystem des R³ ist, da sie alle drei linear
> unabhängig sind. Dies konnte ich aus dem Rang der Matrix
> schließen bzw. aus einem LGS.

[daumenhoch]

>  
> Nur der zweite Teil macht mir Kopfzerbrechen. Wie soll ich
> mit zwei Vektoren (also 2-D-Raum) einen 3 dimensionalen
> Raum mit x,y,z darstellen?
>  
> Darf man sich zur Lösung des Problemes einen weiteren
> Vektor ausdenken, nur mit entsprechenden Koeffizienten oder
> wie geht man am besten an die Sache ran?
>  
>
> Vielen Dank für eure Vorschläge/Lösungsansätze
>  

Hier ist eine ganz andere Sache gefordert:

Es gilt, die [mm] \Parameter \lambda, \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] zu berechnen, so dass gilt:

[mm] \vec{a}=\lambda\vec{x}+\nu\vec{y}+\mu\vec{z} [/mm]

bzw die Parameter [mm] \zeta, \iota, [/mm] und [mm] \rho, [/mm] so dass gilt:

[mm] \vec{b}=\zeta\vec{x}+\iota\vec{y}+\rho\vec{z} [/mm]


Marius

Bezug
                
Bezug
Linearkombination: richtiges Lesen...
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 00:24 So 24.12.2006
Autor: Xabora

Ja, richtiges Lesen ist schon die halbe Lösung!
Das sagte auch unser Matheprof.^^ Jetzt weis ich was er meinte.
Ich hatte mich irgendwie schon daran festgefressen.

Danke für die schnelle Reaktion!

Bezug
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