Linearkombination < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Leviatan |
| Aufgabe | | Schreiben sie den Vektor v = (2,-5,3) Element IR³ als eine Linearkombination der Vektoren u1 = (1,-3,2), u2 = (2,-4,-4) und u3 = (1,-5,7) |
HalliHallo,
Ich konnte aufgrund von eine Grippe in der letzten Woche leider nicht zur Uni und habe nun einige Probleme :(
also bei dem lösen der angegebenen Aufgabe traten bei mir erhebliche Schwierigkeiten auf.
Mir ist nicht klar ob ich hier 3 verschiedene Linearkombinationen anwenden soll (also so dass die Aufgabe quasie in die Abschnitte a,b,c zerfällt, wo ich dann zu jedem angegebenen Vektor eine Linearkombination herausfinden soll) oder ob ich aus den 3 Vektoren insgesamt eine Kombination finden soll welche dann den Vektor v als Ergebniss hat.
Außerdem bin ich mir ein wenig unsicher wie diese Linearkombinatio aussehen soll. Reicht es wenn ich verschiedene "Variablen" wähle? Also Beipsielsweise das derr Vekotr v = (v1,v2,v3) dargstellt werden kann durch die Linearkombination des Vektors w = (w1,w2,w3) mit (a1w1,a2w2,a3w3) wobei a1-a3 verschieden zu wählen sind?
Und zu guterletzt; wenn ich v aus den 3 Vektoren zusammen erstellen soll, muss ich die Linearkombinationen dann Multiplizieren oder addieren?
Sorry, ich stehe echt ein wneig auf dem Schlauch...
|
|
| |
|
> Schreiben sie den Vektor v = (2,-5,3) Element IR³ als eine
> Linearkombination der Vektoren u1 = (1,-3,2), u2 =
> (2,-4,-4) und u3 = (1,-5,7)
> HalliHallo,
>
> Ich konnte aufgrund von eine Grippe in der letzten Woche
> leider nicht zur Uni und habe nun einige Probleme :(
>
> also bei dem lösen der angegebenen Aufgabe traten bei mir
> erhebliche Schwierigkeiten auf.
> Mir ist nicht klar ob ich hier 3 verschiedene
> Linearkombinationen anwenden soll (also so dass die Aufgabe
> quasie in die Abschnitte a,b,c zerfällt, wo ich dann zu
> jedem angegebenen Vektor eine Linearkombination
> herausfinden soll) oder ob ich aus den 3 Vektoren insgesamt
> eine Kombination finden soll welche dann den Vektor v als
> Ergebniss hat.
>
> Außerdem bin ich mir ein wenig unsicher wie diese
> Linearkombinatio aussehen soll. Reicht es wenn ich
> verschiedene "Variablen" wähle? Also Beipsielsweise das
> derr Vekotr v = (v1,v2,v3) dargstellt werden kann durch die
> Linearkombination des Vektors w = (w1,w2,w3) mit
> (a1w1,a2w2,a3w3) wobei a1-a3 verschieden zu wählen sind?
>
> Und zu guterletzt; wenn ich v aus den 3 Vektoren zusammen
> erstellen soll, muss ich die Linearkombinationen dann
> Multiplizieren oder addieren?
>
> Sorry, ich stehe echt ein wneig auf dem Schlauch...
Hi,
hier mal die Definition linearer (Un-)Abhängigkeit von Wikipedia:
$$
[mm] \textrm{Es sei }V\textrm{ ein Vektorraum über dem Körper }K\textrm{ und }I\textrm{ eine Indexmenge. Eine durch }I\textrm{ indizierte Familie }(\mathbf v_i)_{i\in I}
[/mm]
[mm] \textrm{ heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Eine endliche}
[/mm]
[mm] \textrm{Familie }\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\dots, \mathbf{v}_n\textrm{ von Vektoren aus }V\textrm{ heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des} [/mm]
[mm] \textrm{ Nullvektors als Linearkombination}
[/mm]
[mm] a_1 \cdot \mathbf{v}_1 [/mm] + [mm] a_2 \cdot \mathbf{v}_2 +\ldots+ a_n \cdot \mathbf{v}_n [/mm] = [mm] \mathbf{0}
[/mm]
[mm] \textrm{ mit Koeffizienten }a_1, a_2,\dots,a_n\textrm{ aus dem Grundkörper }K\textrm{ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten }ai\textrm{ gleich Null sind.}
[/mm]
[mm] \textrm{ Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich Null) erzeugen, dann sind die Vektoren}
[/mm]
[mm] \textrm{ linear abhängig. Die Familie }(\mathbf v_i)_{i\in I}\textrm{ ist also linear abhängig genau dann, wenn es Koeffizienten }(a_i)_{i\in I}\textrm{ gibt, von denen}
[/mm]
[mm] \textrm{ fast alle, aber nicht alle gleich 0 sind, so dass}
[/mm]
[mm] \sum_{i\in I}a_i\cdot\mathbf v_i=\mathbf{0}.
[/mm]
[mm] \textrm{ Achtung: Der Nullvektor }\mathbf{0}\textrm{ ist ein Element des Vektorraumes }V\textrm{ , während }0\textrm{ ein Element aus dem Körper }K\textrm{ ist!}
[/mm]
$$
Du musst also gucken, ob es möglich ist, dass die vier gegebenen Vektoren eine geschlossene Vektorkette ergeben. Deswegen musst du also überprüfen ob,
[mm] $$a_1*u_1+a_2*u_2+a_3*u_3=v$$
[/mm]
undendlich viele Lösungen hat, oder für alle Koeffizienten nur die Lösung [mm] $a_1=a_2=a_3=0$ [/mm] existiert.
Gibt es unendlich viele Lösungen, so wähle einen Koeffizienten frei und berechne mit dessen Hilfe die anderen beiden Lösungen, die daraus resultieren.
Zeichne dir die Vektoren mal skizziert auf und mach dir klar, was es heißt, einen Vektor durch zwei andere darzustellen.
Grüße, Stefan.
|
|
|
|
