Linearkombination < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:08 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum über dem Körper [mm] \IR [/mm] und sei M [mm] \subseteq [/mm] V eine linear unabhängige Menge. Zeigen Sie, dass jeder Vektor aus dem Erzeugnis von M unendlich viele Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus M hat. |
Hallo ihr,
Könnte mir jemand helfen, ich komme mit dem Ansatz nicht weiter. Für mich ist doch klar was da steht, wenn aus einer Menge, dessen Vektoren linear abhängig sind, so sind die Vektoren des Erzeugnisses auch linear abhängig und können mit Elementen aus M egal wie viele und welche beliebig dargestellt werden, aber wie zeige ich das?
Vielank Dank an Alle, die diese Zeilen lesen, und die mir antworten haben noch viel mehr dank verdient  .
Gruß
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> Sei V ein Vektorraum über dem Körper [mm]\IR[/mm] und sei M
> [mm]\subseteq[/mm] V eine linear unabhängige Menge. Zeigen Sie,
> dass jeder Vektor aus dem Erzeugnis von M unendlich viele
> Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus M hat.
> Hallo ihr,
> Könnte mir jemand helfen, ich komme mit dem Ansatz nicht
> weiter. Für mich ist doch klar was da steht,
Hallo,
ja? Für mich ist's völlig unklar, bzw. grottenfalsch - es sei denn, Du wolltest oben eigentlich schreiben, daß M eine linear abhängige Menge ist...
> wenn aus
> einer Menge, dessen Vektoren linear abhängig sind, so sind
> die Vektoren des Erzeugnisses auch linear abhängig und
> können mit Elementen aus M egal wie viele und welche
> beliebig dargestellt werden, aber wie zeige ich das?
Das, was Du schreibst, klingt ein wenig wie die Beschreibung einer Landschaft, die im Starknebel liegt...
Laß uns die Sache erstmal konkretisieren, denn ich habe den Eindruck, daß Dir nicht klar ist, was die Aufgabe ist.
Gehen wir in den [mm] \IR^3 [/mm] und betrachten hier die linear abhängige Menge [mm] M:=\{\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\7\\0}\}
[/mm]
Welches sind die Elemente des Erzeugnisses <M> von M? <M>:= ???
Auf jeden Fall ist der Vektor [mm] v:=\vektor{3\\5\\0} [/mm] in <M>.
Die Behauptung ist nun, daß man v auf unendlich viele Arten als Linearkombination von [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\7\\0} [/mm] schreiben kann?
Warum bzw. wie?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Ultio |
oh ja ist mir auch aufgefallen: natürlich ist M linear abhängig...
die zu betrachtende Beispielmenge:
[mm] M:=\{\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\7\\0}\}[/mm]
[/mm]
Welches sind die Elemente des Erzeugnisses <M> von M? <M>:=
<M> = { [mm] {\vektor{a\\0\\0}, a \in \IR}, {\vektor{0\\b\\0}, b \in \IR}, {\vektor{c\\d\\0}, c,d \in \IR} [/mm] }
[mm] v:=\vektor{3\\5\\0} \in [/mm] <M>
1. Mgl.:3*v1 + 5*v2
2. Mgl.:1*v3 - 2*v2 + 2*v1
...
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> die zu betrachtende Beispielmenge:
> [mm]M:=\{\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\7\\0}\}[/mm][/mm]
>
> Welches sind die Elemente des Erzeugnisses <M> von M?
> <M>:=
> <M> = { [mm] {\vektor{a\\0\\0}, a \in \IR}, {\vektor{0\\b\\0}, b \in \IR}, {\vektor{c\\d\\0}, c,d \in \IR} [/mm] }
Hallo,
nein, das ist falsch.
Warnung: Du mußt die Definitionen lernen. Exakt. Sonst ist eine Bauchlandung vorprogrammiert.
[mm] :=\{a\vektor{1\\0\\0}+b*\vektor{0\\1\\0}+c*\vektor{1\\7\\0}| a,b,c\in \IR\}.
[/mm]
(Wenn man weiterdenkt, stellt man fest: in diesem Falle ist [mm] M=\{\vektor{a\\b\\0}| a,b\in \IR\}.)
[/mm]
> [mm]v:=\vektor{3\\5\\0} \in[/mm] <M>
> 1. Mgl.:3*v1 + 5*v2
> 2. Mgl.:1*v3 - 2*v2 + 2*v1
Und weiter? Ich suche eine systematische Anleitung für die Produktion von Darstellungen von v.
Übrigens macht es nicht sonderlich viel Mühe, Indizes zu schreiben. Das geht mit einem Unterstrich.
Gruß v. Angela
> ...
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Ultio |
In diesem Falle wäre:
v der Form [mm] \vektor{x\\y\\0} [/mm] lässt sich darstellen als
x=a und y=b
also v = x [mm] \vektor{1\\0 \\0} [/mm] + y [mm] \vektor{0\\1 \\0}
[/mm]
so wäre es aber nur eine Möglichkeit mit dem anderen sind es auch mehrere...
aber ich glaube ich bin zu weit in diesem Beispiel, korrekt?
Wie kann ich das dann für die Aufgabe im Allgemeinen nutzen:
Der Vektor v = [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}} \in [/mm] <M> lässt sich also durch mindestens eine Linearkombination der Vektoren aus M darstellen.
Aber wie bekomme ich den Bogen auf unendlich viele Möglichkeiten?
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> In diesem Falle wäre:
> v der Form [mm]\vektor{x\\y\\0}[/mm] lässt sich darstellen als
> x=a und y=b
> also v = x [mm]\vektor{1\\0 \\0}[/mm] + y
> [mm]\vektor{0\\1 \\0}[/mm]
> so wäre es aber nur eine Möglichkeit
> mit dem anderen sind es auch mehrere...
Hallo,
Du weichst mir aus.
Die gerade anstehende Aufgabe war doch, den Vektor [mm] \vektor{3\\5\\0} [/mm] auf unendlich viele Arten als Linearkombination der drei erzeugenden Vektoren zu schreiben.
Dafür wünschte ich mir ein systematisches Vorgehen.
Die drei Vektoren sind linear abhängig. Also kann man den Nullvektor auf nichttriviale Weise als Linearkombination der drei schreiben. Wie?
Bringt Dich das auf eine Idee, wie Du
[mm] \vektor{3\\5\\0}=3v_1+5v_2 [/mm] "aufpusten" kannst zu ganz vielen Darstellungen?
Wenn Du das hinschreiben kannst, bist Du nah an der Lösung der eigentlichen Aufgabe:
Wenn M linear abhängig ist, gibt es Vektoren [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] mit (oBdA)
[mm] 0=a_1v_1 [/mm] + [mm] \summe_{i=2}^{n}a_iv_i [/mm] mit [mm] a_1\not=0.
[/mm]
Nun weiter.
Gruß v. Angela
> aber ich glaube ich bin zu weit in diesem Beispiel,
> korrekt?
> Wie kann ich das dann für die Aufgabe im Allgemeinen
> nutzen:
> Der Vektor v = [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}} \in[/mm] <M>
> lässt sich also durch mindestens eine Linearkombination
> der Vektoren aus M darstellen.
> Aber wie bekomme ich den Bogen auf unendlich viele
> Möglichkeiten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 07.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Es soll der Vektor [mm] \vektor{3\\5\\0} [/mm] auf unendlich viele Arten als
Linearkombination der drei erzeugenden Vektoren geschrieben werden.
> Dafür wünschte ich mir ein systematisches Vorgehen.
Die Basis des erzeugten Menge ist { [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0} [/mm] }
> Die drei Vektoren sind linear abhängig. Also kann man den
> Nullvektor auf nichttriviale Weise als Linearkombination
> der drei schreiben. Wie?
0 [mm] =a_1 \vektor{1\\0\\0} +a_2 \vektor{0\\1\\0} [/mm] + [mm] a_3 \vektor{1\\7\\0}
[/mm]
--> nichttriviale Lösung ergibt sich wie folgt
[mm] a_1 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] = 0
[mm] a_2 [/mm] + 7 [mm] a_3 [/mm] = 0
--> [mm] a_1 [/mm] = [mm] -a_3
[/mm]
--> 1/7 [mm] a_2 [/mm] = [mm] -a_3
[/mm]
--> a1 = 1/7 [mm] a_2 [/mm]
jetzt sei [mm] a_1 [/mm] eine beliebige relle Zahl s
daraus folgt [mm] a_1 [/mm] = s, [mm] a_2 [/mm] = 7s, [mm] a_3=-s
[/mm]
und das heißt das jeder erzeugte Vektor in dem Erzeugnis auf beliebige Art und Weise dargestellt werden kann?!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
stellst du jetzt noch den Vektor auf unendlich viele Weisen dar? Dann sollte das leicht allgemein zu formulieren sein. natürlich nicht mit konkreten Zahlen, sondern nur mit dem Wissen über ihre Existenz aus den Vors.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Do 07.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Also wenn ich von dem besonderen zum Algemeinen gehen soll, dann müsste auf jedenfall in den Koeffizienten eine beliebige reelle Zahl auftauchen wie zum Beispiel:
0 = [mm] a_1 \vektor{x_{1-1}\\x_{1-2}\\...\\x_{1-n}} [/mm] + [mm] a_2 \vektor{x_{2-1}\\x_{2-2}\\...\\x_{2-n}}+...+ a_n \vektor{x_{n-1}\\x_{n-2}\\...\\x_{n-n}}
[/mm]
--> [mm] a_1= [/mm] s
daraus folgt dann
[mm] a_2= f_1(s), a_3=f_2(s),...,a_n=f_{n-1}(s)
[/mm]
oder ist das jetzt völlig verkehrt?
Richtig schön ist das nicht unbedingt! Kann mir jemand bitte ein wenig helfen wie man das schöner schreiben kann (und wenn es falsch ist natürlich richtig(er))?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast immer noch nicht sen Vektor au unendlich verschiedene Weisen dargestellt.
2.M hat nicht unbedingt n-1 Vektoren, schreib das klarer mit k Vektoren, k<n
3. du kannst nicht leicht a1=s bei mehr als 2 li unabh. Vektoren in M setzen, aber was weisst du über die [mm] a_i [/mm] denn? hier musst du die Vors. benutzen, dass deine k Vektoren lin abh. sind. Du musst kein s oder s und r usw explizit angeben. sondern nur aus der lin. Abh der Vektoren aus M zeigen, dass man sie auf viele Weisen darstellen kann.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 07.01.2010 | | Autor: | Ultio |
> Du hast immer noch nicht sen Vektor au unendlich
> verschiedene Weisen dargestellt.
häh...
das verstehe ich jetzt nicht ganz, was fehlt denn da?
> 2.M hat nicht unbedingt n-1 Vektoren, schreib das klarer
> mit k Vektoren, k<n
Das mit den k- Vektoren ist einleuchtend.
> 3. du kannst nicht leicht a1=s bei mehr als 2 li unabh.
> Vektoren in M setzen, aber was weisst du über die [mm] a_i
[/mm]
> denn? hier musst du die Vors. benutzen, dass deine k
> Vektoren lin abh. sind. Du musst kein s oder s und r usw
> explizit angeben. sondern nur aus der lin. Abh der Vektoren
> aus M zeigen, dass man sie auf viele Weisen darstellen
> kann.
Ich weiß, dass wenn also zur Darstellung des Nullvektors nicht nur die triviale Lösung möglich ist, d.h. viele von den [mm] a_i \not= [/mm] 0. (aus der linearen Abhängigkeit)
zusätzlich weiß ich, da die Vektoren linear abhängig sind, dass das Erzeugnis <M> ebenfalls linear abhängig ist bzw. die Elemente dessen.
Mit Kombination jeden Vektors oder Vielfaches eines Vektors oder einiger Vektoren kann ich ein Vektor aus dem Erzeugnis darstellen.
richtig soweit?
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Hallo Ultio,
> Ich weiß, dass wenn also zur Darstellung des Nullvektors
> nicht nur die triviale Lösung möglich ist, d.h. viele von
> den [mm]a_i \not=[/mm] 0. (aus der linearen Abhängigkeit)
Es müssen nicht "viele" [mm] a_{i}\not= [/mm] 0 sein, es reicht 1.
> zusätzlich weiß ich, da die Vektoren linear abhängig
> sind, dass das Erzeugnis <M> ebenfalls linear abhängig ist
> bzw. die Elemente dessen.
Das ist klar, das Erzeugnis von M ist meistens eine riesige Menge von Vektoren - diese Aussage nützt dir also relativ wenig.
> Mit Kombination jeden Vektors oder Vielfaches eines
> Vektors oder einiger Vektoren kann ich ein Vektor aus dem
> Erzeugnis darstellen.
> richtig soweit?
Weiß ich nicht genau, was du damit sagen willst, es sind zu viele "oder" drin.
Hier mal ein Beweisanfang:
Sei $M = [mm] \{v_{1},...,v_{n}\}$ [/mm] eine linear abhängige Menge von Vektoren. Das bedeutet, es gibt [mm] $\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\IR$ [/mm] mit [mm] $(\lambda_{1},...,\lambda_{n})\not= [/mm] (0,...,0)$, sodass
[mm] $\lambda_{1}*v_{1} [/mm] + .... + [mm] \lambda_{n}*v_{n} [/mm] = 0$.
Sei nun [mm] $m\in [/mm] <M>$ beliebig, d.h. es existieren [mm] $\mu_{1},...,\mu_{n}\in \IR$ [/mm] sodass
$m = [mm] \mu_{1}*v_{1} [/mm] + ... + [mm] \mu_{n}*v_{n}$
[/mm]
Dann gilt offenbar für beliebiges [mm] $\eta\in\IR$:
[/mm]
$m = [mm] [\mu_{1}*v_{1} [/mm] + ... + [mm] \mu_{n}*v_{n}] [/mm] + [mm] \eta*\underbrace{[\lambda_{1}*v_{1} + .... + \lambda_{n}*v_{n}]}_{0}$
[/mm]
$= [mm] (\mu_{1} [/mm] + [mm] \eta*\lambda_{1})*v_{1} [/mm] + ... + [mm] (\mu_{n} [/mm] + [mm] \eta*\lambda_{n})*v_{n}$
[/mm]
Nun du!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo,
ich versuch's dann mal:
> Hier mal ein Beweisanfang:
>
> Sei [mm]M = \{v_{1},...,v_{n}\}[/mm] eine linear abhängige Menge
> von Vektoren. Das bedeutet, es gibt
> [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\IR[/mm] mit
> [mm](\lambda_{1},...,\lambda_{n})\not= (0,...,0)[/mm], sodass
>
> [mm]\lambda_{1}*v_{1} + .... + \lambda_{n}*v_{n} = 0[/mm].
> Sei nun [mm]m\in [/mm] beliebig, d.h. es existieren
> [mm]\mu_{1},...,\mu_{n}\in \IR[/mm] sodass
(bis hier hin habe ich es, denke ich, verstanden)
> [mm]m = \mu_{1}*v_{1} + ... + \mu_{n}*v_{n}[/mm]
>
> Dann gilt offenbar für beliebiges [mm]\eta\in\IR[/mm]:
>
> [mm]m = [\mu_{1}*v_{1} + ... + \mu_{n}*v_{n}] + \eta*\underbrace{[\lambda_{1}*v_{1} + .... + \lambda_{n}*v_{n}]}_{0}[/mm]
>
> [mm]= (\mu_{1} + \eta*\lambda_{1})*v_{1} + ... + (\mu_{n} + \eta*\lambda_{n})*v_{n}[/mm]
also ich habe mir die letzte Gleichung jetzt ca. 6-8 Minuten angeschaut, ist das nicht schon die Lösung?
Denn wenn m sich mit den [mm] \mu_i [/mm] darstellen lässt und die [mm] \lambda_i [/mm] auch soweit ungleich null sind dann sind doch mit [mm] \eta \in \IR [/mm] unendlich viele Lösungen aufgezeigt, oder nicht?
Die Koeffizienten in den Klammern sind ungleich null und stellen mittels linearkombination der Vektoren aus M m dar. Gebt mir mal bitte ein Tipp, was ich aus der Gleichung isolieren muss...
Danke
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Hallo Ultio,
> Hallo,
> ich versuch's dann mal:
> > Hier mal ein Beweisanfang:
> >
> > Sei [mm]M = \{v_{1},...,v_{n}\}[/mm] eine linear abhängige Menge
> > von Vektoren. Das bedeutet, es gibt
> > [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\IR[/mm] mit
> > [mm](\lambda_{1},...,\lambda_{n})\not= (0,...,0)[/mm], sodass
> >
> > [mm]\lambda_{1}*v_{1} + .... + \lambda_{n}*v_{n} = 0[/mm].
>
> > Sei nun [mm]m\in [/mm] beliebig, d.h. es existieren
> > [mm]\mu_{1},...,\mu_{n}\in \IR[/mm] sodass
> (bis hier hin habe ich es, denke ich, verstanden)
> > [mm]m = \mu_{1}*v_{1} + ... + \mu_{n}*v_{n}[/mm]
> >
> > Dann gilt offenbar für beliebiges [mm]\eta\in\IR[/mm]:
> >
> > [mm]m = [\mu_{1}*v_{1} + ... + \mu_{n}*v_{n}] + \eta*\underbrace{[\lambda_{1}*v_{1} + .... + \lambda_{n}*v_{n}]}_{0}[/mm]
>
> >
> > [mm]= (\mu_{1} + \eta*\lambda_{1})*v_{1} + ... + (\mu_{n} + \eta*\lambda_{n})*v_{n}[/mm]
>
> also ich habe mir die letzte Gleichung jetzt ca. 6-8
> Minuten angeschaut, ist das nicht schon die Lösung?
> Denn wenn m sich mit den [mm]\mu_i[/mm] darstellen lässt und die
> [mm]\lambda_i[/mm] auch soweit ungleich null sind dann sind doch mit
> [mm]\eta \in \IR[/mm] unendlich viele Lösungen aufgezeigt, oder
> nicht?
> Die Koeffizienten in den Klammern sind ungleich null und
> stellen mittels linearkombination der Vektoren aus M m dar.
> Gebt mir mal bitte ein Tipp, was ich aus der Gleichung
> isolieren muss...
Du hast schon recht, viel ist es nicht mehr - Alle wesentlichen Argumente hast du gerade genannt.
Da mindestens ein [mm] $\lambda_{i} \not= [/mm] 0$, ist der zu [mm] v_{i} [/mm] gehörige Koeffizient [mm] $(\mu_{i} [/mm] + [mm] \eta*\lambda_{i})$ [/mm] für jedes beliebige [mm] \eta [/mm] ein anderer (Auch deswegen übrigens, weil die Skalare aus [mm] \IR [/mm] kommen! Wenn die Skalare zum Beispiel aus einem endlichen Körper kommen würden, gäbe es auch nur endlich viele Möglichkeiten, weil dann ab einem bestimmten [mm] \eta [/mm] immer wieder dasselbe herauskommen würde). Damit entstehen für m unendlich viele verschiedene Linearkombinationen.
War doch gar nicht so schwer, oder?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Vielen vielen dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Ultio |
werde morgen versuchen Lösung einzuschreiben, danke vielmals.
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