Linearkombination < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mo 18.01.2010 | | Autor: | mo1985 |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe ein kleiens Problem, gibt es eine kurze Erklärung was man unter Linear abhängig bzw unabhängig versteht?
Desweiteren habe ich ein Problem mit der Lienarkombination:
Aufgabe: Stellen sie den Vektor x als Linearkombination der Basis B dar
x = [mm] \vektor{4 \\ 5} [/mm] ; B = [mm] \vektor{4 \\ 2}, \vektor{4 \\ 8} [/mm] |
Kann mir dabei jemand helfen??? Ich hab leider nicht die geringste Ahnung warum man das macht und wie. Vielen Dank !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mo 18.01.2010 | | Autor: | nooschi |
> Hallo,
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> ich habe ein kleiens Problem, gibt es eine kurze Erklärung
> was man unter Linear abhängig bzw unabhängig versteht?
>
ich finds immer gut, wenn man's sich zuerst einmal bildlich vorstellen kann: Wenn du zum Beispiel im zweidimensionalen bist und du zwei Vektoren hast (also "Pfeile" mit einer bestimmten Richtung und einer bestimmten Länge). Die beiden Vektoren können entweder genau dieselbe Richtung haben, dann sind sie linear abhängig, oder sie haben nicht dieselbe Richtung, dann sind sie linear unabhängig. Analog im dreidimensionalen: da hast du zum Beispiel drei Vektoren, die können alle auf einer Gerade liegen, d.h. sie haben alle dieselbe Richtung, dann sind sie linear abhängig, oder sie können auch alle drei auf einer Ebene liegen, dann sind sie ebenfalls linear abhängig.
also konkret wie das mathematisch definiert ist:
[mm] v_1, v_2, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] sind linear unabhängig [mm] \gdw (\alpha_1*v_1+...+\alpha_n*v_n=0 \Rightarrow \alpha_1=...=\alpha_n=0)
[/mm]
also als kurzes Beispiel:
[mm] \vektor{ 2 \\ 5 }, \vektor{ -4 \\ -10 } [/mm] sind linear abhängig, denn [mm] 2*\vektor{ 2 \\ 5 }+\vektor{ -4 \\ -10 }=\vektor{ 0 \\ 0}
[/mm]
(die beiden Vektoren können auf einer Geraden gezeichnet werden)
[mm] \vektor{ 2 \\ 5 }, \vektor{ -4 \\ 1 } [/mm] sind linear unabhängig, denn
[mm] \alpha_1\vektor{ 2 \\ 5 }+\alpha_2\vektor{ -4 \\ 0 }=\vektor{ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \alpha_1*2+\alpha_2*-4=0
[/mm]
[mm] \alpha_1*5+\alpha_2*0=0 \Rightarrow \alpha_1*5=0 \Rightarrow \alpha_1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha_2=0
[/mm]
> Desweiteren habe ich ein Problem mit der
> Lienarkombination:
> Aufgabe: Stellen sie den Vektor x als Linearkombination
> der Basis B dar
>
> x = [mm]\vektor{4 \\ 5}[/mm] ; B = [mm]\vektor{4 \\ 2}, \vektor{4 \\ 8}[/mm]
>
[mm] \vektor{4 \\ 5}=\alpha_1*\vektor{4 \\ 2}+\alpha_2*\vektor{4 \\ 8}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] 4=\alpha_1*4+\alpha_2*4
[/mm]
[mm] 5=\alpha_1*2+\alpha_2*8
[/mm]
das schön auflösen, fertig.
> Kann mir dabei jemand helfen??? Ich hab leider nicht die
> geringste Ahnung warum man das macht und wie. Vielen Dank
> !
warum weiss ich auch nicht, aber was du damit gezeigt hast, ist, dass die drei Vektoren linear abhängig sind, denn du kannst ja den Vektor x auf die andere Seite nehmen und dann bekommst du eine nichttriviale (also nicht alles = 0) Lösung für die Alphas...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 19.01.2010 | | Autor: | mo1985 |
Also muss ich bei zwei Vektoren immer gucken ob der Eine das Vielfache vom Anderen ist? z.B. a1 = [mm] \vektor{2 \\ 1\\4}; [/mm] a2 = [mm] \vektor{1\\ 0,5\\2} [/mm] => sind linear abhängig weil 2*a2 = a1
oder
a1 = [mm] \vektor{1 \\ 2\\1}; [/mm] a2 = [mm] \vektor{3\\ 4\\3} [/mm] sind lienar unabhängig weil a1 [mm] \not= [/mm] a2
hab ich das so richtig verstanden?
Spielt die Dimension da eine Rolle oder der Rang oder kann ich das immer machen. Und bei 3 Vektoren, müssen dann 2 dem dritten entsprechen?
zu meiner zweiten Frage. Nach der auflösung sind a1, a2 = 0.5, zeige ich dadurch das die drei vektoren parallel sind?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 19.01.2010 | | Autor: | nooschi |
> Also muss ich bei zwei Vektoren immer gucken ob der Eine
> das Vielfache vom Anderen ist? z.B. a1 = [mm]\vektor{2 \\ 1\\4};[/mm]
> a2 = [mm]\vektor{1\\ 0,5\\2}[/mm] => sind linear abhängig weil 2*a2
> = a1
>
> oder
> a1 = [mm]\vektor{1 \\ 2\\1};[/mm] a2 = [mm]\vektor{3\\ 4\\3}[/mm] sind lienar
> unabhängig weil a1 [mm]\not=[/mm] a2
>
> hab ich das so richtig verstanden?
naja, bei zwei Vektoren kannst du schon immer schauen, ob der eine ein Vielfaches des anderen ist. aber bei mehr würde ich die allgemeine Definition benutzen die ich dir aufgeschrieben habe, d.h.
[mm] v_1, v_2, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] sind linear unabhängig [mm] \gdw (\alpha_1\cdot{}v_1+...+\alpha_n\cdot{}v_n=0 \Rightarrow \alpha_1=...=\alpha_n=0)
[/mm]
wie man das konkret auf ein Beispiel anendet hab ich ja schon oben geschrieben.
> Spielt die Dimension da eine Rolle oder der Rang oder kann
> ich das immer machen. Und bei 3 Vektoren, müssen dann 2
> dem dritten entsprechen?
>
also die Dimension spielt in dem Sinne eine Rolle, dass die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren immer gleich der dimension sind. d.h. im zweidimensionalen kannst du maximal zwei linear unabhängige Vektoren haben etc.
Die allgemeine Definition mit dem Test, ob sich der Nullvektor nichttrivial als Linearkombination der zu testenden Vektoren darstellen lässt, darfst du natürlich immer verwenden (ist ja einfach die Definition von linear abhängig)
>
> zu meiner zweiten Frage. Nach der auflösung sind a1, a2 =
> 0.5, zeige ich dadurch das die drei vektoren parallel
> sind?
>
nein, wie kommst du darauf?
zwei Vektoren sind parallel bzw haben dieselbe Richtung, wenn sich der eine als vielfaches des anderen schreiben lässt.
das ist hier nicht der Fall (der eine Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen beiden darstellen, aber nicht als Vielfaches nur eines der beiden anderen Vektoren)
> Danke
Bitte :P
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