Linearkombination, orthogonal < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:40 So 08.01.2006 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | | Gesucht ist eine Linearkombination von z von [mm] x=[1;1;-2]^T [/mm] und [mm] y=[2;-1;1]^T, [/mm] die orthogonal zu x ist. |
hi,
habe die Aufgabe versucht zu lösen, bekomme am Ende aber nicht für [mm] x^T*z=0 [/mm] raus.
hier meine Schritte:
[mm] x^T*z=!0
[/mm]
[mm] z_{1}+ z_{2}- 2z_{3}=0 [/mm] (Gleichung 1)
[mm] y^T*z=!0
[/mm]
[mm] 2z_{1}- z_{2}+ z_{3}=0
[/mm]
-> [mm] z_{2}=2 z_{1}+ z_{3} [/mm] (Gleichung 2)
Gleichung 2 in 1 eingesetzt:
[mm] 3z_{1}-z_{3}=0 ->z_{3}=3t [/mm] setzen
-> [mm] 3z_{1}=3t
[/mm]
-> [mm] z_{1}=t
[/mm]
=> [mm] z=t[1;5;3]^T
[/mm]
Bestimmung von t in dem x Werte für t eingesetzt:
(an dem Schritt liegts sicherlich warum ich nicht am Ende auf 0 komme)
[mm] t=[1*1;1*5;-2*3]^T [/mm] => [mm] z=[1;5;-6]^T
[/mm]
Prüfung:
[mm] x^T*z=0?
[/mm]
[mm] [1;1;-2]^T*[1;5;-6]=1+5+12=18 \not=0
[/mm]
also ist z keine passende Linearkombination zu x, welche orthogonal ist.
wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 So 08.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo pisty!
Ich interpretiere diese Aufgabe etwas anders.
Gesucht ist ein Vektor [mm] $\vec{z}$, [/mm] der sich als Linearkombination der beiden gegebenen Vektoren [mm] $\vec{x}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}$ [/mm] darstellen lässt und senkrecht auf [mm] $\vec{x}$ [/mm] steht.
[mm] $\vec{z} [/mm] \ = \ [mm] r*\vec{x}+s*\vec{y} [/mm] \ = \ [mm] r*\vektor{1\\1\\-2}+s*\vektor{2\\-1\\1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{r+2s\\r-s\\-2r+r}$
[/mm]
[mm] $\vec{x}*\vec{z} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\1\\-2}*\vektor{r+2s\\r-s\\-2r+r} [/mm] \ =\ ... \ =! \ 0$
Gruß
Loddar
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