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Forum "Vektoren" - Linearkombination von Vektoren
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Linearkombination von Vektoren: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 So 21.09.2008
Autor: MonsterMan2001

Aufgabe
Berechnen Sie die folgende Linearkombination von Vektoren.
a) b = 1/2 $ [mm] a_1 [/mm] $ - 1/2 $ [mm] a_2 [/mm] $ + 3/2 $ [mm] a_3 [/mm] $

mit $ [mm] a_1 [/mm] $ = ($ [mm] e_2 [/mm] $ + $ [mm] e_3 [/mm] $), $ [mm] a_2 [/mm] $ = ($ [mm] e_1 [/mm] $ + $ [mm] e_2 [/mm] $), $ [mm] a_3 [/mm] $ = ($ [mm] -e_1 [/mm] $ - 2$ [mm] e_2 [/mm] $ + 3$ [mm] e_3 [/mm] $)

Ich stehe total auf dem Schlauch, könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich diese Rechnung dürchführe. Ich habe zwar im Heft die Lösung, aber keinen Rechenweg. Danke euch

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Linearkombination von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 So 21.09.2008
Autor: Somebody


> Berechnen Sie die folgende Linearkombination von Vektoren.
>  a) b = 1/2 [mm]a_1[/mm] - 1/2 [mm]a_2[/mm] + 3/2 [mm]a_3[/mm]
>  
> mit [mm]a_1[/mm] = ([mm] e_2[/mm] + [mm]e_3 [/mm]), [mm]a_2[/mm] = ([mm] e_1[/mm] + [mm]e_2 [/mm]), [mm]a_3[/mm] = ([mm] -e_1[/mm]
> - 2[mm] e_2[/mm] + 3[mm] e_3 [/mm])
>  Ich stehe total auf dem Schlauch, könnte
> mir jemand einen Tipp geben, wie ich diese Rechnung
> dürchführe. Ich habe zwar im Heft die Lösung, aber keinen
> Rechenweg. Danke euch

Ich nehmen an, "berechnen" bedeutet in diesem Zusammenhang, dass man $b$ als Linearkombination der "Basisvektoren" [mm] $e_1, e_1$ [/mm] und [mm] $e_3$ [/mm] darstellt: Du darfst in der gegebenen Darstellung von $b$ als Linearkombination der Vektoren [mm] $a_1, a_2$ [/mm] und [mm] $a_3$ [/mm] nun die zu diesem Vektoren äquivalenten Linearkombinationen einsetzen und dann alle Vielfachen von [mm] $e_1, e_2$ [/mm] bzw. [mm] $e_3$ [/mm] sammeln: und schon hast Du die gewünschte Darstellung von $b$ als Linearkombination von [mm] $e_1, e_2$ [/mm] und [mm] $e_3$. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Linearkombination von Vektoren: Linearkombination
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 So 21.09.2008
Autor: clwoe

Hallo,

> Berechnen Sie die folgende Linearkombination von Vektoren.
>  a) b = 1/2 [mm]a_1[/mm] - 1/2 [mm]a_2[/mm] + 3/2 [mm]a_3[/mm]
>  
> mit [mm]a_1[/mm] = ([mm] e_2[/mm] + [mm]e_3 [/mm]), [mm]a_2[/mm] = ([mm] e_1[/mm] + [mm]e_2 [/mm]), [mm]a_3[/mm] = ([mm] -e_1[/mm]
> - 2[mm] e_2[/mm] + 3[mm] e_3 [/mm])

Die Vektoren [mm] \vec{e_{1}}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vec{e_{2}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e_{3}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] sind ja die Standart Basisvektoren.

Nun berechnest du also die Vektoren [mm] \vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{a_{3}} [/mm] entsprechend den Vorschriften, also wie in der Aufgabe angegeben.

Ich rechne dir es mal für [mm] \vec{a_{1}} [/mm] vor.

[mm] \vec{a_{1}}=\vec{e_{2}}+\vec{e_{3}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1}. [/mm]

Genauso machst du es bei den anderen zwei Vektoren.

Nun setzt du entsprechend der vorgegebenen Vorschrift in der Aufgabe den Vektor [mm] \vec{b}. [/mm]

Ich fang mal an. [mm] \vec{b}=0,5*\vec{a_{1}}-0,5*\vec{a_{2}}+1,5*\vec{a_{3}} [/mm]
[mm] =0,5*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}-... [/mm]
[mm] =\vektor{0,5*0 \\ 0,5*1 \\ 0,5*1}-... [/mm]
[mm] =\vektor{0 \\ 0,5 \\ 0,5}-... [/mm]

Ich denke den Rest kriegst du alleine hin.

Gruß,
clwoe


Bezug
                
Bezug
Linearkombination von Vektoren: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:05 So 21.09.2008
Autor: MonsterMan2001

Vielen Dank. Jetzt weiß ich, wie es gemeint war. Danke Danke

Bezug
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