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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Sa 18.09.2010 | | Autor: | lemur |
| Aufgabe 1 | Stelle den Vektor [mm]\vec u[/mm] [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] als Linearkombination der Vektoren
[mm]\vec a[/mm] [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix},[/mm] [mm]\vec b[/mm] [mm] \begin{pmatrix} -7 \\ 9 \\ -7 \end{pmatrix},[/mm] [mm]\vec c[/mm] [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] dar.
Warum gibt es mehrere Möglichkeiten dafür? |
| Aufgabe 2 | | Kannst du den Vektor [mm]\vec c[/mm] durch einen Vektor [mm]\vec c' [/mm] ersetzen, so dass sich de Vektor [mm]\vec u [/mm] nur noch auf eine einzige Art als Linearkomination von [mm]\vec a[/mm] , [mm]\vec b[/mm] und [mm]\vec c'[/mm] darstellen lässt? |
[mm] x_1[/mm] [mm]\vec a [/mm] + [mm] x_2[/mm] [mm]\vec c [/mm] + [mm] x_3[/mm] [mm]\vec c [/mm] = [mm]\vec u [/mm]
[mm] x_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] x_2\begin{pmatrix} -7 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] x_3\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
ergibt aufgelöst (mit Gauß-Algorithmus)
[mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = -3
und [mm] x_1 [/mm] - [mm] 7x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = 8
daraus folgt
[mm] x_1 [/mm] = 2 + [mm] 3x_2
[/mm]
und [mm] x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{3x_3}{2} [/mm] - 2,5
folglich gibt es unendlich viele Lösungen.
Aber wie genau begründe ich das?
Zur 2ten Aufgabe:
[mm] \vec c' [/mm] lässt sich so wählen, dass es nur noch eine einzige Lösung gibt, denn sobald man eine einzige Zahl des Vektors [mm]\vec c[/mm] verändert gibt es nur noch eine Lösung (allerdings dann auch nur wenn [mm] x_3 [/mm] = 0 ist)
Gleiche Frage hier: wie kann ich das mathematisch beweisen?
Viele Grüße, bei Rückfragen einfach schreiben :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Hallo lemur!
Du argumentierst am besten mit linearer Abhängigkeit! "Die drei Vektoren [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] sind ..., deswegen ist die Darstellung von [mm]\vec{u}[/mm] nicht eindeutig. Wenn man [mm]\vec{c}[/mm] folgendermaßen ändert: ..., sind [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c'}[/mm] ... und deswegen ist die Darstellung eindeutig.
Grüße Eliza
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