Linearkombinationen, Basen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 05.09.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | [mm] u=\vektor{1 \\ -2 \\ -1 \\ 0}, v=\vektor{2 \\ 0 \\ 3 \\ -1}, w=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, z=\vektor{2 \\ 2 \\ 3 \\ -3}
[/mm]
a) Zu zeigen, dass die Vektoren u, v, w eine Basis des Raums span{u, v, w} darstellen.
b) Zu berechnen ist die Dimension von span{u,v,w,z}. |
Hallo an alle,
ich habe einige Fragen, bevor ich überhaupt anfangen kann die Aufgaben zu berechnen 
Zu a):
Was genau bedeutet dieses span eigentlich und wie sieht dieser Raum aus?
Wenn ich weiß, wie man den Raum als Matrix darstellen kann würde ich diese in ZSF bringen, ein Gleichungssystem aufstellen und gucken, ob u, v, w dieses lösen. Ist der Weg prinzipiell richtig?
Zu b):
Auch hier ist meine Frage wieder, wie der Raum span{u,v,w,z} aussieht?
Wenn ich weiß, wie ich den Raum als Matrix darstellen kann würde ich diese wieder in ZSF bringen und die Dimension mit dim=n-rang berechnen!??
Ich freue mich über ausführliche, simple erklärte Lösungsvorschläge
Eure Paula.
|
|
| |
|
Synonyme zu "Spann" sind "lineare Hülle" oder "Erzeugendensystem".
Vielleicht kennst du ja einen dieser Begriffe.
Falls nicht:
Sind $u,v,w [mm] \in \IR^4$ [/mm] dann ist:
span{u,v,w} := {a*u + b*v + c*w | a,b,c [mm] \in \IR [/mm] }
(dies ist ebenfalls ein [mm] $\IR$-Vektorraum!)
[/mm]
Wenn u,v,w linear unabhängig sind dann sind sie eine Basis des Spanns (sonst nicht).
Wie genau du das jetzt mit ner Matrix meinst weiß ich grad nicht ganz.
Du könntest natürlich die einzelnen Vektoren in eine Matrix schreiben, dann ist der Spann der Vektoren der Spaltenraum dieser Matrix.
MfG
Schadowmaster
bzw. nochmal zum Nachlesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Spann_%28Mathematik%29
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 07.09.2011 | | Autor: | paula_88 |
> Synonyme zu "Spann" sind "lineare Hülle" oder
> "Erzeugendensystem".
> Vielleicht kennst du ja einen dieser Begriffe.
Ja, das hat schon gereicht, mir war nicht bewusst, dass Span dasselbe ist wie ein Erzeugendensystem
Da eine Basis ja definiert ist durch das Erzeugendensystem und die lineare Unabhängigkeit muss hier also nur die lineare Unabhängigkeit von u,v,w geprüft werden?
Dies habe ich gemacht, die Vektoren sind zueinander linear unabhängig und somit ist span{u,v,w} auch eine Basis!??
Nun also zu b) Zu berechnen ist die Dimension von span{u,v,w,z}.
Sieht span{u,v,w,z} wie folt aus?? span{u,v,w,z} := {a*u + b*v + c*w + d*z | a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] }
Und wie kann ich jetzt die Dimension diesbezüglich ermitteln? Ich habe bis jetzt nur die Dimensionen von Matrizen berechnet.
Könnte mir jemand netterweise genauer Erklären, wie ich mir die Dimension hier vorzustellen habe und wie ich diese ermittel?
Vielen Dank im Voraus!!!
|
|
|
| |
|
> > Synonyme zu "Spann" sind "lineare Hülle" oder
> > "Erzeugendensystem".
> > Vielleicht kennst du ja einen dieser Begriffe.
>
> Ja, das hat schon gereicht, mir war nicht bewusst, dass
> Span dasselbe ist wie ein Erzeugendensystem
>
> Da eine Basis ja definiert ist durch das Erzeugendensystem
> und die lineare Unabhängigkeit muss hier also nur die
> lineare Unabhängigkeit von u,v,w geprüft werden?
jupp
>
> Dies habe ich gemacht, die Vektoren sind zueinander linear
> unabhängig und somit ist span{u,v,w} auch eine Basis!??
u,v,w ist dann eine Basis von span{u,v,w}
> Nun also zu b) Zu berechnen ist die Dimension von
> span{u,v,w,z}.
> Sieht span{u,v,w,z} wie folt aus?? span{u,v,w,z} := [mm] $\{a*u +
b*v + c*w + d*z | a,b,c,d \in \IR \}$ [/mm]
jupp
> Und wie kann ich jetzt die Dimension diesbezüglich
> ermitteln? Ich habe bis jetzt nur die Dimensionen von
> Matrizen berechnet.
> Könnte mir jemand netterweise genauer Erklären, wie ich
> mir die Dimension hier vorzustellen habe und wie ich diese
> ermittel?
Nun, der Spann (also das Erzeugnis) ist ja wieder ein Vektorraum.
Da du bereits drei linear unabhängige Vektoren (u,v,w) drinn hast ist die Dimension mindestens 3.
Da insgesamt 4 Vektoren drinn sind könnte die Dimension vielleicht noch 4 sein, wenn sie alle vier linear unabhängig sind.
Also: Sind die 4 Vektoren linear unabhängig hast du Dimension 4, sonst (da u,v,w linear unabhängig) Dimension 3.
>
> Vielen Dank im Voraus!!!
MfG
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 09.09.2011 | | Autor: | paula_88 |
> > Und wie kann ich jetzt die Dimension diesbezüglich
> > ermitteln? Ich habe bis jetzt nur die Dimensionen von
> > Matrizen berechnet.
> > Könnte mir jemand netterweise genauer Erklären, wie ich
> > mir die Dimension hier vorzustellen habe und wie ich diese
> > ermittel?
>
> Nun, der Spann (also das Erzeugnis) ist ja wieder ein
> Vektorraum.
> Da du bereits drei linear unabhängige Vektoren (u,v,w)
> drinn hast ist die Dimension mindestens 3.
> Da insgesamt 4 Vektoren drinn sind könnte die Dimension
> vielleicht noch 4 sein, wenn sie alle vier linear
> unabhängig sind.
> Also: Sind die 4 Vektoren linear unabhängig hast du
> Dimension 4, sonst (da u,v,w linear unabhängig) Dimension
> 3.
Vielen Dank für die Erklärungen.
Das heißt im Allgemeinen wenn ich die Dimension eines Vektorraums berechnen möchte, dann ermittel ich einfach die Anzahl linear unabhängiger Vektoren und kann die mit der Dimension gleichsetzen??
Ich habe die Aufgabe versucht auf anderem Wege zu lösen, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis, vielleicht könnte ja jemand bitte noch Stellungsnahme zu meinem Weg nehmen
Kann ich [mm] span\{u,v,w,z\} [/mm] auch als Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -3 } [/mm] darstellen?
Ich habe nämlich versucht die Matrix so weit in ZSF zu bekommen wie möglich und dann die Dimension durch dim=n-rang(A) berechnet, komme aber nicht auf die Dimension 3. Wieso kann ich so nicht vorgehen?
Vielen Dank im Voraus, Paula.
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für die Erklärungen.
>
> Das heißt im Allgemeinen wenn ich die Dimension eines
> Vektorraums berechnen möchte, dann ermittel ich einfach
> die Anzahl linear unabhängiger Vektoren und kann die mit
> der Dimension gleichsetzen??
jupp
Das liegt an folgenden Tatsachen:
1. Die Dimension ist die Anzahl der Vektoren in der Basis (also die Mächtigkeit der Basis, wenn man sie als Menge betrachtet).
2. Basis ist äquivalent zu "maximal linear unabhängig".
Das bedeutet eine Menge von Vektoren bilden eine Basis eines Vektorraums, genau dann wenn sie linear unabhängig sind und man keinen weiteren dazupacken kann, ohne dass die lineare Unabhängigkeit kaputt geht.
Deshalb brauchst du also für die Dimension einfach nur zu zählen wie viele linear unabhängige Vektoren du maximal im Vektorraum hast und bist damit fertig, ja.
Wenn du ein Erzeugendensystem (wie in diesem Fall) gegeben hast reicht es die Vektoren darin zu untersuchen (du musst also nicht immer alle aus dem ganzen Vektorraum angucken).^^
> Ich habe die Aufgabe versucht auf anderem Wege zu lösen,
> komme aber nicht auf das richtige Ergebnis, vielleicht
> könnte ja jemand bitte noch Stellungsnahme zu meinem Weg
> nehmen
>
> Kann ich [mm]span\{u,v,w,z\}[/mm] auch als Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -3 }[/mm]
> darstellen?
jupp, kannst du.
Dein Vektorraum wäre dann der Spaltenraum.
> Ich habe nämlich versucht die Matrix so weit in ZSF zu
> bekommen wie möglich und dann die Dimension durch
> dim=n-rang(A) berechnet, komme aber nicht auf die Dimension
> 3. Wieso kann ich so nicht vorgehen?
Woher hast du die Formel "dim = n-rang(A)"?
Das erinnert mich irgendwie an Dimension des Kerns bei einer linearen Abbildung oder so, passt aber hierfür nicht.
Da der Rang einer Matrix ja gerade die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (bzw. Spalten) ist, wäre in diesem Fall die richtige Formel:
dim(Spaltenraum(A)) = rang(A)
Und der Rang der obigen Matrix ist 3, genau so wie es sein sollte. ;)
> Vielen Dank im Voraus, Paula.
MfG
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Fr 09.09.2011 | | Autor: | paula_88 |
Klasse danke, jetzt ist alles klar
|
|
|
|
