Linienintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Do 22.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Die Gesamtmasse eines Drahtstückes kann über [mm] m=\integral_{C}{\nu(x,y) ds} [/mm] berechnet werden!
Man berechne die Gesamtmasse des Drahtstückes, wenn dieses die Gestalt eines Halbkreises hat [mm] (x^2+y^2=1, [/mm] y [mm] \le [/mm] 0) und die Dichte durch folgende Funktion besitzt: [mm] \nu(x,y)=1-y [/mm] |
Hallo!
Würde bitte eure Unterstützung bei o. g. Beispiel benötigen!
Bin wie folgt vorgegangen:
1) Parameterdarstellung der Kurve:
[mm] \overrightarrow{C}=\vektor{cos (\alpha) \\ sin (\alpha)}, \pi \le \alpha \le 2*\pi
[/mm]
2) Ableitung der Kurve:
[mm] \overrightarrow{C´}=\vektor{-sin (\alpha) \\ cos (\alpha)}
[/mm]
Und nun folgende Frage: Nun ist die Dichte ja gegeben durch : [mm] \nu(x,y)=1-y
[/mm]
Wenn ich das nun alles ins Integral einsetze erhalte ich:
[mm] m=\integral_{\pi}^{2*\pi}{(1-y) \vektor{-sin (\alpha) \\ cos (\alpha)} d\alpha }
[/mm]
Wo liegt nun mein Fehler, bzw. wie kann ich dieses INtegral lösen??
Danke für eure Hilfe!
Mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Deine Parametrisierung ist O.K.
Aber in
[mm] $\integral_{C}{\nu(x,y) ds} [/mm] $
wird nach der Bogenlänge integriert. Also:
[mm] $\integral_{C}{\nu(x,y) ds} [/mm] = [mm] \integral_{\pi}^{2 \pi}{\nu(C(\alpha))*|C'(\alpha)| d \alpha}$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Do 22.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo Fred!
Hoffe, ich habe das nun richtig verstanden!
Ich habe ja nun das Integral [mm] \integral_{\pi}^{2*\pi}{1-sin(\alpha) * \vektor{-sin (\alpha)\\ cos (\alpha)} d\alpha} [/mm] = [mm] \integral_{\pi}^{2*\pi}{-sin(\alpha)*cos(\alpha)+sin^2(\alpha)+2 d\alpha} [/mm]
Als Ergebniss für die Masse erhalte ich dann [mm] \bruch{5\pi}{2}
[/mm]
Richtig ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
>
> Hoffe, ich habe das nun richtig verstanden!
>
> Ich habe ja nun das Integral
> [mm]\integral_{\pi}^{2*\pi}{1-sin(\alpha) * \vektor{-sin (\alpha)\\ cos (\alpha)} d\alpha}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{\pi}^{2*\pi}{-sin(\alpha)*cos(\alpha)+sin^2(\alpha)+2 d\alpha}[/mm]
Ich hab keine Ahnung, was Du da rechnest ! Ich hab Dir doch geschrieben, das unterm Integral nicht [mm] C'(\alpha) [/mm] steht, sondern [mm] |C'(\alpha)|, [/mm] also die euklidsche Länge von [mm] C'(\alpha).
[/mm]
>
> Als Ergebniss für die Masse erhalte ich dann [mm] C'(\alpha).
[/mm]
Somit:
[mm] \integral_{\pi}^{2*\pi}{(1-sin(\alpha)) *| \vektor{-sin (\alpha)\\ cos (\alpha)} | d\alpha}
[/mm]
FRED
> [mm]\bruch{5\pi}{2}[/mm]
>
> Richtig ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Do 22.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Sorry, habe ich überlesen!
Dan hätte ich das Integral [mm] \integral_{\pi}^{2*\pi}{(1-sin(\alpha))*1 d\alpha}
[/mm]
Dies ausgewertet würde [mm] 2+\pi [/mm] ergeben!
Aber wiso setzte ich hier die euklidische Länge von [mm] C'(\alpha) [/mm] ein??
DANKE!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, habe ich überlesen!
>
> Dan hätte ich das Integral
> [mm]\integral_{\pi}^{2*\pi}{(1-sin(\alpha))*1 d\alpha}[/mm]
>
> Dies ausgewertet würde [mm]2+\pi[/mm] ergeben!
Ja
>
> Aber wiso setzte ich hier die euklidische Länge von
> [mm]C'(\alpha)[/mm] ein??
Schau mal hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral
unter "Kurvenintegral erster Art"
FRED
>
> DANKE!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Do 22.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Spitze, jetzt verstehe ich es!
Danke vielmals!!
|
|
|
|
