Linke/rechte Gruppenkriterien < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo liebe Forumsmitglieder,
Ich fange einfach mal mit einer Definition und der damit verbundenen Frage, deren Lösung mir Unklarheiten bereitet, an:
Sei (G, +) eine Gruppe (+ sei also eine binäre Verknüpfung auf G mit den üblichen Gruppen-Eigenschaften). Es gelte
a - b := a + (-b)
Frage:
Für welche Gruppe (G, +) ist auch (G, -) eine Gruppe?
Meine Behauptung:
(G, -) ist nur Gruppe, wenn (G, +) eine "Nullgruppe" ist, also G nur das Nullelement (z.B. 0) enthält.
Beweisidee:
Das "Linke Gruppenkriterium" besagt, daß (G, -) Gruppe ist gdw. folgendes gilt:
(i) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G : 0 - a = a
(ii) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] G : b - a = 0
(Beweis ist viel Tipparbeit und führt zu weit, daher lasse ich ihn hier weg)
Offensichtlich gilt (i) nur, wenn wenn a = 0 für alle a [mm] \in [/mm] G ist.
Folglich muß G = {0} gelten.
Soweit, so gut (oder auch nicht).
Nun gibt es aber auch das "rechte Gruppenkriterium", das analog zum linken GK hergeleitet (bewiesen) wird. Also:
(G, -) ist Gruppe gdw. gilt:
(i) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G : a - 0 = a
(ii) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] G : a - b = 0
Nun das Ärgerliche: Ich sehe nicht, warum das rechte GK nur für G = {0} gelten sollte?!
(i) gilt offensichtlich für alle a [mm] \in [/mm] G, und (ii) gilt mit b = a für jede Gruppe (G, +).
Wenn das eine Gruppenkriterium gilt, und das andere nicht, ist das aber ein Widerspruch. Wo steckt mein Denkfehler??
Im Voraus schonmal supervielen Dank für eine Hilfe!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mo 16.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
kann es sein, dass du dich bei deinem ersten Kriterium laso i) vom "Linke Gruppenkriterium" verschrieben oder verlesen hast - es sollte eigentlich so heißen denke ich :
i) [mm] $\forall a\in [/mm] G : (0 - a)= -a$
denn 0-a=0+(-a)
und weil (G,+) ja Gruppe ist mit dem Nullelement muss da dann (-a) rauskommen.
Übrigens es ist völlig klar, dass (G,-) Gruppe ist, genau dann wenn (G,+) Gruppe ist, denn durch a-b=a+(-b) und die Existenz von (-b) in G ist alles äquivalent definiert...
schau nochmal genau in deinen Unterlagen nach - wenn du es vielleicht falsch von der Tafel abgeschireben hast, dann schau mal in einem Beweis rein, ob und welche Eigenschaft i) verwendet wurde ..
Aber ich denke ernsthaft dieses i) ist falsch..
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Hallöchen!
Stimmt, jetzt sehe ich es ...
Das Gruppenkriterium wurde in der Vorlsg. allgemein (Kringelnotation) angegeben, aber ich hatte es falsch auf die Subtraktion angewandt. Daraus resultierte meine darauffolgende (falsche) Überlegung. Aber dank Deiner Ausführungen ist es mir nun auch klar.
Prima, danke für die sehr schnelle, klärende Antwort!!
|
|
|
|
