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Bestimme die Intervalle, in denen der Graph von f eine Linkskurve bzw. eine Rechtskurve bildet.
f(x) = 1/3 x³ - x
Man muss doch da die 2. Ableitung bilden und die dann 0 setzten und dann die gleichung lösen. ? oder?
Diese Zahl dann für die x- Werte der 3. Ableitung einsetzten oder?
Dann bekomme ich ja raus ob es eine links oder rechtskurve ist.
aber wie bestimme ich die intervalle?
Danke für antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 16.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Liebes Sternchen,
Du solltest Dir überlegen, was die "Ableitung einer Funktion f
an der Stelle [mm] x_0" [/mm] bedeutet: Es ist ihre Änderung. Dementsprechend
ist die 2. Ableitung die "Änderung der Änderung". Interessant
sind meist folgende drei Fälle:
[mm] f''(x_0) [/mm] > 0: Bedeutet, dass die Änderung der ersten Ableitung
positiv ist. Bei wachsender Ableitung wird f also immer steiler.
Damit beobachtest Du eine Linkskurve.
[mm] f''(x_0) [/mm] = 0: Bedeutet, die erste Ableitung ändert sich an der
Stelle [mm] x_0 [/mm] nicht. Das wiederum zieht nach sich, dass f an der
Stelle [mm] x_0 [/mm] seine Steigung beibehält, also weder eine Links- noch
eine Rechtskurve fährt.
[mm] f''(x_0) [/mm] < 0: Die erste Ableitung schrumpft. f verliert an
Steilheit. Du fährst eine Rechtskurve.
Meditiere darüber! Mache es Dir am besten am einfachsten Beispiel
[mm] f(x)=x^3
[/mm]
klar!
Dann wirst Du sehen, dass bei geeignet oft stetig differenzierbaren
Funktionen (d.h. Du hast keine Sprünge in f oder seinen Ableitungen
so weit Du sie benötigst, was in der Schule eigentlich immer
gegeben ist) gilt, dass der Übergang von Rechts- zu Linkskurve mit
einer Nullstelle der 2. Ableitung einhergeht:
f''(x)=0
Vorsicht! Ähnlich wie bei der Suche nach Hoch- und Tiefpunkten, bei
der Du mit blindem f'(x) = 0-Setzen auf Sattelpunkte hereinfallen
kannst, musst Du auch hier noch prüfen, ob die Nullstelle auch
mit einem Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung verbunden ist!
Ich hoffe das benatwortet Deine Frage!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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