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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Di 14.04.2009 | | Autor: | laihla |
| Aufgabe | | Die Abbildung $G/U [mm] \to U\backslash [/mm] G$ definiert durch [mm] $g\star [/mm] U [mm] \mapsto U\star [/mm] g$ ist offensichtlich bijektiv. |
Mir ist noch nicht ganz klar geworden, warum die Abbildung tatsächlich bijektiv ist. Ich hoffe, mir kann da jemand weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus,
Laihla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Di 14.04.2009 | | Autor: | laihla |
| Aufgabe | | Die Abbildung $G/U [mm] \to U\backslash [/mm] G$ definiert durch [mm] $g\star [/mm] U [mm] \mapsto U\star [/mm] g$ ist offensichtlich bijektiv. |
Dabei ist mit $G/U$ die Menge der Linksnebenklassen und mit [mm] $U\backslash [/mm] G$ die Menge der Rechtsnebenklassen gemeint.
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Hallo laihla,
> Die Abbildung [mm]G/U \to U\backslash G[/mm] definiert durch [mm]g\star U \mapsto U\star g[/mm]
> ist offensichtlich bijektiv.
Sollte die Abbildung nicht eher lauten [mm] $g\star U\mapsto U\star g^{\red{-1}}$ [/mm] ?
Da wäre das nämlich so:
Für die Injektivität nimm dir zwei Elemente aus $G/U$ her, etwa [mm] $g_1\star [/mm] U$ und [mm] $g_2\star [/mm] U$ mit [mm] $U\star g_1^{-1}=U\star g_2^{-1}$, [/mm] also mit gleichen Bildern
Dh. [mm] $\exists u\in [/mm] U$ mit [mm] $u\star g_2^{-1}=g_1^{-1}$, [/mm] also [mm] $g_1=\left(u\star g_2^{-1}\right)^{-1}=g_2\star u^{-1}$
[/mm]
Damit [mm] $g_1\star U=g_2\star u^{-1}\star U=g_2\star [/mm] U$, da U Untergruppe
Also ist die Abbildung injektiv
Die Surjektivität ist nicht schwer, nimm dir ein bel. Element aus [mm] $U\backslash [/mm] G$ her, etwa [mm] $U\star [/mm] g$
Nun konstruiere naheliegend ein Element aus $G/U$, das genau [mm] $U\star [/mm] g$ als Bild hat ...
> Mir ist noch nicht ganz klar geworden, warum die Abbildung
> tatsächlich bijektiv ist. Ich hoffe, mir kann da jemand
> weiterhelfen.
> Vielen Dank im Voraus,
> Laihla
LG
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:59 Mi 15.04.2009 | | Autor: | laihla |
Danke, für deine Antwort. Die Aufgabe war so richtig gestellt, habe mir das nun so überlegt:
Die Linksnebenklassen bezüglich der Untergruppe U haben gleich viele Elemente in ihrer Klasse wie die Rechtsnebenklassen. Nach der Abbildungsvorschrft hat ja U*g ein Urbild, nämlich g*U. Und somit wäre die Surjektivität gezeigt. Da die Mengen gleichviele Elemente besitzen, die Abbildung gleichzeitig surjektiv ist, so ist sie auch bijektiv.
Kann man das so argumentieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 17.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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