Linksnebenklasse < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dfx |
| Aufgabe | Es seien [mm](A, \*)[/mm] eine Gruppe und [mm]B[/mm] eine Untergruppe von [mm]A[/mm].
a) Zeigen Sie, daß die Abbildung [mm]m_a : A \rightarrow A, x \rightarrow a \* x[/mm], für jedes [mm]a \in A[/mm] bijektiv ist.
Ist die Abbildung [mm]m_a[/mm] ein Gruppenhomomorphismus?
b) Zeigen Sie, dass durch [mm]x \sim y : \gdw y^{-1} \* x \in B[/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm]A[/mm] gegeben ist. Zeigen Sie weiter, dass die Äquivalenzklassen durch die Linksnebenklassen [mm]a \* B := \{a \* b | b \in B\}[/mm] von [mm]a \in A[/mm] nach [mm]B[/mm] gegeben sind .
c) Von nun an sei [mm]A[/mm] eine endliche Gruppe.
Zeigen Sie, daß für alle [mm]a \in A[/mm] gilt: [mm]|a \* B| = |B|[/mm].
Folgern Sie daraus, dass die Mächtigkeit [mm]|B|[/mm] von [mm]B[/mm] die Mächtigkeit [mm]|A|[/mm] von [mm]A[/mm] teilt.
d) Beweisen Sie: Für alle [mm]a \in A[/mm] ist [mm]a^{|A|} = e[/mm]. (Hinweis: Betrachten Sie die in Aufgabe 3 definierte Untergruppe [mm].a. [/mm]) |
Hallo,
die a) lief ziemlich gut. Bei der b) blieb ich aber hängen.
Meine Vorüberlegung war [mm]a \* B = \{a \* b | b \in B \} = \{a \* b^{-1} | b^{-1} \in B\} = \{a \* b^{-1} | b \in B\}[/mm]
Sei [mm]x, y \in[/mm] Äquivalenzklasse beliebig
[mm]\Rightarrow x \sim y \gdw (y^{-1} \* x) \in B \wedge (y^{-1} \* x) \in x \* B[/mm]
[mm]\Rightarrow (y^{-1} \* x)^{-1} \in B = (x^{-1} \* y) \in y \* B[/mm]
Jetzt wollte ich noch zeigen, dass y [mm] \* [/mm] B = x [mm] \* [/mm] B und damit gilt die Behauptung. Nach einigen Ansätzen komme ich da aber nicht weiter.
Ich hab jetzt nicht nochmal geschaut, aber hier habe ich eine wohl korrigierte Version des Aufgabenblattes gepostet, während ich mit einer veralteten gearbeitet habe, ob sich da vielleicht doch ein Weg ergibt. Im Moment wäre ich auf jeden Fall für einen Anstoß dankbar.
Gruss, dfx
1. Revision: Klammern eingefügt.
Bemerkungen:
- .a. am Ende der Aufgabenstellung sollte ein a in "zickzack" Klammern werden.
- Die zweite Zeile des Beweises sollte mit "B [mm] \in [/mm] " beginnen, wegen dem gleich daraufhin. Allerdings gibt es wohl kein umgedrehtes [mm] \in.[/mm]
|
|
| |
|
> Es seien [mm](A, \*)[/mm] eine Gruppe und [mm]B[/mm] eine Untergruppe von [mm]A[/mm].
>
> a) Zeigen Sie, daß die Abbildung [mm]m_a : A \rightarrow A, x \rightarrow a \* x[/mm],
> für jedes [mm]a \in A[/mm] bijektiv ist.
> Ist die Abbildung [mm]m_a[/mm] ein Gruppenhomomorphismus?
>
> b) Zeigen Sie, dass durch [mm]x \sim y : \gdw y^{-1} \* x \in B[/mm]
> eine Äquivalenzrelation auf [mm]A[/mm] gegeben ist. Zeigen Sie
> weiter, dass die Äquivalenzklassen durch die
> Linksnebenklassen [mm]a \* B := \{a \* b | b \in B\}[/mm] von [mm]a \in A[/mm]
> nach [mm]B[/mm] gegeben sind .
>
> c) Von nun an sei [mm]A[/mm] eine endliche Gruppe.
> Zeigen Sie, daß für alle [mm]a \in A[/mm] gilt: [mm]|a \* B| = |B|[/mm].
>
> Folgern Sie daraus, dass die Mächtigkeit [mm]|B|[/mm] von [mm]B[/mm] die
> Mächtigkeit [mm]|A|[/mm] von [mm]A[/mm] teilt.
>
> d) Beweisen Sie: Für alle [mm]a \in A[/mm] ist [mm]a^{|A|} = e[/mm].
> (Hinweis: Betrachten Sie die in Aufgabe 3 definierte
> Untergruppe [mm].a. [/mm])
>
> Hallo,
>
> die a) lief ziemlich gut. Bei der b) blieb ich aber
> hängen.
>
> Meine Vorüberlegung war [mm]a \* B = \{a \* b | b \in B \} = \{a \* b^{-1} | b^{-1} \in B\} = \{a \* b^{-1} | b \in B\}[/mm]
>
> Sei [mm]x, y \in[/mm] Äquivalenzklasse beliebig
> [mm]\Rightarrow x \sim y \gdw (y^{-1} \* x) \in B \wedge (y^{-1} \* x) \in x \* B[/mm]
Wie kommst Du darauf?
Es gilt:
$ x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Leftrightarrow y^{-1} [/mm] * x [mm] \in [/mm] B $
>
> [mm]\Rightarrow (y^{-1} \* x)^{-1} \in B = (x^{-1} \* y) \in y \* B[/mm]
Verstehe ich auch nicht!
Es gilt
$ x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Leftrightarrow x^{-1} [/mm] * y [mm] \in [/mm] B $
Daraus folgt die Symmetrie von [mm] $\sim$.
[/mm]
>
> Jetzt wollte ich noch zeigen, dass y [mm]\*[/mm] B = x [mm]\*[/mm] B und
> damit gilt die Behauptung. Nach einigen Ansätzen komme ich
> da aber nicht weiter.
Für b) musst Du zeigen, dass [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrelation ist und dass aus $x [mm] \sim [/mm] y$ folgt, dass $ x [mm] \in [/mm] y*B$ und umgekehrt, dass aus $ x [mm] \in [/mm] y*B$ folgt, dass $x [mm] \sim [/mm] y$. Das ergibt [mm] $x\sim [/mm] y [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] y*B$.
>
> Ich hab jetzt nicht nochmal geschaut, aber hier habe ich
> eine wohl korrigierte Version des Aufgabenblattes gepostet,
> während ich mit einer veralteten gearbeitet habe, ob sich
> da vielleicht doch ein Weg ergibt. Im Moment wäre ich auf
> jeden Fall für einen Anstoß dankbar.
>
> Gruss, dfx
>
> 1. Revision: Klammern eingefügt.
> Bemerkungen:
> - .a. am Ende der Aufgabenstellung sollte ein a in
> "zickzack" Klammern werden.
> - Die zweite Zeile des Beweises sollte mit "B [mm]\in[/mm] "
> beginnen, wegen dem gleich daraufhin. Allerdings gibt es
> wohl kein umgedrehtes [mm]\in.[/mm]
LG mathfunnel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dfx |
> > b) Zeigen Sie, dass durch [mm]x \sim y : \gdw y^{-1} \* x \in B[/mm]
> > eine Äquivalenzrelation auf [mm]A[/mm] gegeben ist. Zeigen Sie
> > weiter, dass die Äquivalenzklassen durch die
> > Linksnebenklassen [mm]a \* B := \{a \* b | b \in B\}[/mm] von [mm]a \in A[/mm]
> > nach [mm]B[/mm] gegeben sind .
Entschuldigung, aber ich beschränkte mich bei meinen Angaben auf den zweiten Teil der Aufgabe. Danach benannte ich auch den Titel des Threads. Dort soll ich eben zeigen, dass die Äquivalenzklassen durch die Linksnebenklassen gegeben sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Sa 27.11.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo dfx,
Was willst Du mir mit dieser Mitteilung mitteilen?
Was verstehst Du an meinen Hinweisen nicht?
Du musst im Wesentlichen nur noch für [mm] $x\sim [/mm] y$ die Definition einsetzen um das Ergebnis zu erhalten!
LG mathfunnel
|
|
|
|
