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Hallo liebe Community!
Bei der Aufarbeitung der Vorlesungen bzw. beim Lernen für die Klausur bin ich über folgendem Satz gestoßen, bei den ich noch Verständnisprobleme habe:
Sei (G,*) Gruppe, U Untergruppe von (G,*). Dann gilt: a*U [mm] \cap [/mm] b*U => a*U=b*U
(Haben zwei Linksnebenklassen ein Element gemeinsam, so sind sie gleich.)
Ich hoffe jemand kann mir dies auf eine verständliche Art und Weise erklären und mir dazu ein Beispiel aufschreiben.
Vielen Dank im Voraus!
LG DerPinguinagent
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> Hallo liebe Community!
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> Bei der Aufarbeitung der Vorlesungen bzw. beim Lernen für
> die Klausur bin ich über folgendem Satz gestoßen, bei
> den ich noch Verständnisprobleme habe:
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> Sei (G,*) Gruppe, U Untergruppe von (G,*). Dann gilt: a*U
> [mm]\cap[/mm] b*U => a*U=b*U
> (Haben zwei Linksnebenklassen ein Element gemeinsam, so
> sind sie gleich.)
Gut, dass du noch mal den Text hingeschrieben hast. Du meinst natürlich:
a*U [mm]\cap[/mm] b*U [mm] \red{\ne \emptyset}=> [/mm] a*U=b*U
Nehmen wir an, x wäre [mm] \in [/mm] a*U [mm]\cap[/mm] b*U , also x [mm] \in [/mm] a*U und x [mm] \in [/mm] b*U.
Dann gibt es [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 \in [/mm] U mit [mm] x=a*u_1=b*u_2. [/mm]
Dann folgt aus [mm] a*u_1=b*u_2, [/mm] dass [mm] a=b*u_2*u_1^{-1} =b*u_3 [/mm] mit [mm] u_3=u_2*u_1^{-1} \in [/mm] U, da U als Untergruppe abgeschlossen ist.
Nun zeigen wir a*U=b*U:
Sei nun y [mm] \in [/mm] a*U.
Dann existiert ein [mm] u_4 [/mm] mit [mm] y=a*u_4 [/mm] = [mm] b*u_3*u_4 [/mm] (da ja [mm] a=b*u_3 [/mm] ist) [mm] =b*u_5 [/mm] mit [mm] u_5=u_3*u_4 \in [/mm] U, da U abgeschlossen ist. Also ist y auch [mm] \in [/mm] b*U.
Somit ist a*U [mm] \subseteq [/mm] b*U.
Aus Symmetriegründen ist entsprechend b*U [mm] \subseteq [/mm] a*U und damit a*U = b*U.
Bemerkung: Von Klassen spricht man, wenn man eine Menge so in Untermengen, den Klassen, einteilt, dass jedes Element genau in einer Klasse liegt. Die Schnittmengen aller Klassen sind leer, kein Element ist ohne Klasse.
Als Beispiel betrachte die Zahlen auf dem Ziffernblatt einer Uhr, wobei 12=0 sein soll. Statt * nehmen wir +. Wenn wir zwei beliebige Stunden addieren, soll das Ergebnis wieder die Anzeige auf dem Ziffernblatt sein, also 8+9=17=5.
Man kann leicht zeigen, dass das Ganze eine Gruppe ist ("Restgruppe 12"). Betrachte nun die Untergruppe [mm] U=\{0,4,8\}. [/mm] Dann entstehen folgende Linksnebenklassen:
[mm] 0+U=\{0,4,8\}=U
[/mm]
[mm] 1+U=\{1,5,9\}
[/mm]
[mm] 2+U=\{2,6,10\}
[/mm]
[mm] 3+U=\{3,7,11\}
[/mm]
[mm] 4+U=\{4,8,0\}=0+U
[/mm]
[mm] 5+U=\{5,9,1\}=1+U
[/mm]
[mm] 6+U=\{6,10,2\}=2+U
[/mm]
[mm] 7+U=\{7,11,3\}=3+U
[/mm]
[mm] 8+U=\{8,0,4\}=0+U
[/mm]
[mm] 9+U=\{9,1,5\}=1+U
[/mm]
[mm] 10+U=\{10,2,6\}=2+U
[/mm]
[mm] 11+U=\{11,3,7\}=3+U
[/mm]
[mm] 12+U=\{0,4,8\}=0+U
[/mm]
Du siehst, es gibt keine Überschneidungen. Entweder sind die Linksklassen gleich oder disjunkt.
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Kann ich dadurch schlussfolgern, dass sich die Wiederholung der Linksnebenklassen im unendlichen Fall fortsetzt?
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Jede Klasse hat die Mächtigkeit von U. In meinem Beispiel war das |U|=3.
Die Links-Nebenklassen zerlegen nun die gesamte Gruppe in disjunkte gleichgroße Mengen. Das bedeutet:
Ist G endlich, so ist |G|=|U|*Anzahl der L.-N. In meinem Beispiel also 12=3*4.
Ist G unendlich und U endlich, so muss die Anzahl der L.-N. unendlich sein.
Ist G unendlich und U unendlich, so kann die Anzahl der L.-N. endlich oder unendlich sein.
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Vielen Dank für deine Hilfe hab´s jetzt verstanden!
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Hab doch noch mal eine Frage. Hängt vor allem der erste Punkt irgendwie mit dem Satz von Lagrange zusammen? Der Satz besagt ja: (G,*) endlich und U UG von (G,*), dann: ord(U) | ord(G)
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Ja, genau so ist es, und das hängt mit der erwähnten Klassenbildung zusammen.
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Versuche gerade den Beweis von Lagrange nachzuvollziehen. Bin da aber auf ein Punkt gestoßen, der zu meinem aktuellen Post passt.
[mm] \phi:U \to [/mm] a*U
u [mm] \mapsto [/mm] a*u
Diese Abbildung ist nach Kürzungsregel injektiv. Ist ja auch klar. Aber warum ist diese Abbildung surjektiv und wie kann man das zeigen formal zeigen. Bei uns in der Vorlesung steht nur, das die nach Def. von a*U=|U| (Linksnebenklasse) so ist.
Ich habe die Hoffnung, dass mir das einer von euch erklären kann.
Vielen Dank im Voraus!
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> Versuche gerade den Beweis von Lagrange nachzuvollziehen.
> Bin da aber auf ein Punkt gestoßen, der zu meinem
> aktuellen Post passt.
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> [mm]\phi:U \to[/mm] a*U
>
> u [mm]\mapsto[/mm] a*u
>
> Diese Abbildung ist nach Kürzungsregel injektiv. Ist ja
> auch klar. Aber warum ist diese Abbildung surjektiv und wie
> kann man das zeigen formal zeigen.
Hallo,
zu zeigen ist: für alle [mm] y\in [/mm] aU gibt es ein [mm] x\in [/mm] U mit [mm] \Phi [/mm] (x)=y.
Sei [mm] y\in [/mm] aU.
Dann gibt es ein [mm] u\in [/mm] U mit y=au.
Nach Def von [mm] \Phi [/mm] ist [mm] \Phi [/mm] (u)=au=y.
Ist jetzt nicht so sonderlich tiefsinnig...
LG Angela
> Bei uns in der Vorlesung
> steht nur, das die nach Def. von a*U=|U| (Linksnebenklasse)
> so ist.
>
> Ich habe die Hoffnung, dass mir das einer von euch
> erklären kann.
>
> Vielen Dank im Voraus!
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Vielen Dank für deine Antwort! Der Beweis ist ja eigentlich sehr simple. Bin nur leider nicht drauf gekommen :_( Aber hab´s verstanden!
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Müsste das nicht heißen [mm] \phi [/mm] (x)=au=y ?
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> Müsste das nicht heißen [mm]\phi[/mm] (x)=au=y ?
Hallo,
worum geht es in "für alle y [mm] \in [/mm] .. findet man ein [mm] x\in [/mm] ... mit [mm] \Phi [/mm] (x)=y"?
Ich muß zeigen, daß ich zu jedem beliebigen Element des Bildraumes eines aus dem Urbildraum finde, welches darauf abgebildet wird.
Das ist mir gelungen.
Wenn es für Dich irgendwie beruhigender ist, kannst Du natürlich schreiben:
Sei x:=u.
Es ist [mm] \Phi [/mm] (x)=\ Phi (u)=au=y.
(Hilfreich ist es nicht.)
LG Angela
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