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| Aufgabe | Sei $F$ linksseitig stetig in a, d.h. es gibt eine Folge [mm] $x_n\to [/mm] a$ von unten, so dass [mm] $\lim F(x_n)=F(a)$.
[/mm]
Kann ich diese Folge immer als monoton wachsende Folge wählen? D.h. kann ich die Folge so umsortieren, dass sie monton wachsend wird? |
Frage siehe oben!
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> Sei [mm]F[/mm] linksseitig stetig in a, d.h. es gibt eine Folge
> [mm]x_n\to a[/mm] von unten, so dass [mm]\lim F(x_n)=F(a)[/mm]. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
linksseitige Stetigkeit bedeutet doch viel mehr als nur,
dass eine solche Folge existiert !
Für jede Folge [mm] [/mm] mit [mm] x_n
muss [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F(x_n)=F(a) [/mm] gelten.
> Kann ich diese Folge immer als monoton wachsende Folge
> wählen? D.h. kann ich die Folge so umsortieren, dass sie
> monton wachsend wird?
Man könnte wohl beweisen, dass die Definition so modifiziert
werden kann, dass man sich auf (alle denkbaren, und nicht
nur auf einzelne Beispiele von) monoton wachsende Folgen
mit Grenzwert a beschränken kann.
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> > Sei [mm]F[/mm] linksseitig stetig in a, d.h. es gibt eine Folge
> > [mm]x_n\to a[/mm] von unten, so dass [mm]\lim F(x_n)=F(a)[/mm].
>
>
> linksseitige Stetigkeit bedeutet doch viel mehr als nur,
> dass eine solche Folge existiert !
>
> Für jede Folge [mm][/mm] mit [mm]x_n
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm] = a
> muss [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F(x_n)=F(a)[/mm] gelten.
>
> > Kann ich diese Folge immer als monoton wachsende Folge
> > wählen? D.h. kann ich die Folge so umsortieren, dass sie
> > monton wachsend wird?
>
>
> Man könnte wohl beweisen, dass die Definition so
> modifiziert
> werden kann, dass man sich auf (alle denkbaren, und nicht
> nur auf einzelne Beispiele von) monoton wachsende Folgen
> mit Grenzwert a beschränken kann.
Kennst jemand einen Beweis? Ich weiß, dass jede relle Folge eine montone Teilfolge besitzt. Aber ich sehe noch nicht ganz, dass man die Def damit modifizieren kann
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> Kennst du einen Beweis? Ich weiß, dass jede relle Folge
> eine montone Teilfolge besitzt. Aber ich sehe noch nicht
> ganz, dass man die Def damit modifizieren kann
Ich habe meine Meinung bewusst so formuliert: "man könnte wohl...."
(weil es mich nicht unbedingt lockt, es wirklich zu tun ...)
LG
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Ich habe es geschafft. Man verwendet ein bekanntes Konvergenzprinzip.
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> Ich habe es geschafft. Man verwendet ein bekanntes
> Konvergenzprinzip.
>
... und das wäre ... ?
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> > Konvergenzprinzip.
> >
>
> ... und das wäre ... ?
Konvergenzprinzip: Es gilt [mm] $x_n\to [/mm] x$ genau dann, wenn jede Teilfolge von [mm] $x_n$ [/mm] eine Teilfolge besitzt, die gegen $x$ konvergiert.> > Ich habe es geschafft. Man verwendet ein bekanntes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Di 15.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Konvergenzprinzip.
> > >
> >
> > ... und das wäre ... ?
>
> Konvergenzprinzip: Es gilt [mm]x_n\to x[/mm] genau dann, wenn jede
> Teilfolge von [mm]x_n[/mm] eine Teilfolge besitzt, die gegen [mm]x[/mm]
> konvergiert.
Du meinst wohl: Es gilt [mm] $x_n \to [/mm] x$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] genau dann, wenn jede Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] auch konvergiert und zwar mit [mm] $x_{n_k} \to [/mm] x$ ($k [mm] \to \infty$).
[/mm]
Dass das alleine wohl nicht reichen wird, erkennst Du daran, dass dies schon in einem allgemeinen metrischen Raum gilt und du dort ja die Punkte nicht mit $<$ bzw. [mm] $\le$ [/mm] (jedenfalls nicht ohne weiteres) vergleichen kannst.
Was Du allerdings auch machen kannst, ist, Dir einfach zu überlegen:
Es gilt für $a [mm] \in \IR$:
[/mm]
Genau dann gilt [mm] $F(x_n) \to [/mm] F(a)$ für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n [/mm] < a$ (für alle $n [mm] \in \IN$) [/mm] und [mm] $x_n \to [/mm] a$, wenn für eine jede monoton wachsende Folge [mm] $(y_n)_n$ [/mm] mit [mm] $y_n [/mm] < a$ (für alle $n [mm] \in \IN$) [/mm] und [mm] $y_n \to [/mm] a$ auch [mm] $F(y_n) \to [/mm] F(a)$ gilt.
(Den Beweis dazu habe ich unten schonmal geschrieben.)
Dabei ist die Beweisrichtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] trivial, bei der Beweisrichtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] muss man sich ein paar Gedanken machen (ich habe das unten durch Kontraposition bewiesen, es geht sicherlich auch irgendwie einfacher, besonders in der Notation.)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > > > Konvergenzprinzip.
> > > >
> > >
> > > ... und das wäre ... ?
> >
> > Konvergenzprinzip: Es gilt [mm]x_n\to x[/mm] genau dann, wenn jede
> > Teilfolge von [mm]x_n[/mm] eine Teilfolge besitzt, die gegen [mm]x[/mm]
> > konvergiert.
>
> Du meinst wohl: Es gilt [mm]x_n \to x[/mm] ([mm]n \to \infty[/mm]) genau
> dann, wenn jede Teilfolge [mm](x_{n_k})_k[/mm] von [mm](x_n)_n[/mm] auch
> konvergiert und zwar mit [mm]x_{n_k} \to x[/mm] ([mm]k \to \infty[/mm]).
Hallo Marcel. Nein, ich meine es so, wie es da steht. Es ist auch nicht schwer das zu beweisen. Probier es doch mal.
Das Resultat gilt sogar auch noch im pseudometrischen Fall!!!
Ich habe es auf jeden Fall mit diesem Prinzip hinbekommen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > > Konvergenzprinzip.
> > > > >
> > > >
> > > > ... und das wäre ... ?
> > >
> > > Konvergenzprinzip: Es gilt [mm]x_n\to x[/mm] genau dann, wenn jede
> > > Teilfolge von [mm]x_n[/mm] eine Teilfolge besitzt, die gegen [mm]x[/mm]
> > > konvergiert.
> >
> > Du meinst wohl: Es gilt [mm]x_n \to x[/mm] ([mm]n \to \infty[/mm]) genau
> > dann, wenn jede Teilfolge [mm](x_{n_k})_k[/mm] von [mm](x_n)_n[/mm] auch
> > konvergiert und zwar mit [mm]x_{n_k} \to x[/mm] ([mm]k \to \infty[/mm]).
>
> Hallo Marcel. Nein, ich meine es so, wie es da steht. Es
> ist auch nicht schwer das zu beweisen. Probier es doch mal.
>
> Das Resultat gilt sogar auch noch im pseudometrischen
> Fall!!!
>
> Ich habe es auf jeden Fall mit diesem Prinzip hinbekommen!
okay, ich glaube Dir auch diese Aussage, sie erschien mir nur unnötig kompliziert. Ob jetzt metrischer Raum oder pseudometrischer Raum (das ist vermutlich ein halbmetrischer Raum, jedenfalls ist mir nur dieser Begriff geläufig), daran soll's nicht scheitern.
Wie gesagt: Ich bezweifle eigentlich nicht diese Aussage Deinerseits (klappt denn Dein Beweis nicht, wenn Du anstatt Deiner Aussagen einfach meine verwendest? Gibt's da eine Stelle, wo der Beweis scheiterte?), ich habe einfach nur ein wenig Zweifel, dass diese Aussage so alleine für den Beweis reicht. Denn um eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] als monotone Folge zu erkennen, braucht man ja die Ordnungsrelation von [mm] $\IR$.
[/mm]
Vielleicht verstehe ich Dich aber auch falsch und Du arbeitest sowohl mit der Ordnungsrelation von [mm] $\IR$ [/mm] als auch mit dem obigen Satz. Das würde mich schon eher überzeugen, dass man die Aussage so beweisen kann.
Aber lange Rede kurzer Sinn:
Magst Du Deinen Beweis nicht einfach mal vorführen? Es geht ja gar nicht darum, ob das gut oder schlecht ist, es geht nur darum, dass wir Dir ggf. aufzeigen, wo etwas unklar ist bzw. vll. sogar falsch/überarbeitungsbedürftig. Und wenn alles in Ordnung ist, na dann haben wir auch wieder etwas gelernt. 
Aber Du darfst mir glauben:
Wenn Deine Aussage oben so stimmt, dann könnte ich sie schon selbst beweisen.  Ich bin nur gerade zu faul dazu und glaub' sie Dir jetzt einfach mal :D
Bzw. "faul" stimmt nicht so ganz: Weil ich gerade eigentlich mit meiner Diplomarbeit eh noch einiges zu tun habe, ist das Interesse meinerseits dafür gerade nicht so groß. Hoffe, man kann das verstehen und ggf. verzeihen
(P.S.: Du brauchst also diese Hilfsaussage für mich keineswegs zu beweisen, im Gegenteil, wenn ich mal Zeit und Lust habe, mache ich das für mich. Mich würde nun nur interessieren, wie Du sie verwendest, um die eigentlich Frage bejahen zu können .)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Di 15.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Sei [mm]F[/mm] linksseitig stetig in a, d.h. es gibt eine Folge
> > > [mm]x_n\to a[/mm] von unten, so dass [mm]\lim F(x_n)=F(a)[/mm].
> >
> >
> > linksseitige Stetigkeit bedeutet doch viel mehr als nur,
> > dass eine solche Folge existiert !
> >
> > Für jede Folge [mm][/mm] mit [mm]x_n
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm] = a
> > muss [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F(x_n)=F(a)[/mm] gelten.
> >
> > > Kann ich diese Folge immer als monoton wachsende Folge
> > > wählen? D.h. kann ich die Folge so umsortieren, dass sie
> > > monton wachsend wird?
> >
> >
> > Man könnte wohl beweisen, dass die Definition so
> > modifiziert
> > werden kann, dass man sich auf (alle denkbaren, und
> nicht
> > nur auf einzelne Beispiele von) monoton wachsende
> Folgen
> > mit Grenzwert a beschränken kann.
>
> Kennst jemand einen Beweis? Ich weiß, dass jede relle Folge
> eine montone Teilfolge besitzt. Aber ich sehe noch nicht
> ganz, dass man die Def damit modifizieren kann
naja, die Modifikation ist simpel:
Einerseits gilt natürlich:
Wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_n$, [/mm] die von unten gegen $a$ strebt (das soll hier wohl nur heißen, dass [mm] $x_n [/mm] < a$ für alle $n$ und [mm] $x_n \to [/mm] a$; ich würde das allerdings als unter $a$ liegende Folge, die gegen $a$ strebt bezeichnen), gilt, dass [mm] $F(x_n) \to [/mm] F(a)$ strebt, so gilt das natürlich insbesondere auch für jede Folge, die von unten gegen $a$ strebt und monoton wachsend ist.
Andererseits gelte nun, dass für jede monotone Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die von unten gegen $a$ strebt, auch [mm] $F(x_n) \to [/mm] F(a)$:
Gäbe es nun eine Folge [mm] $(y_n)_n$, [/mm] die von unten gegen $a$ strebte aber mit [mm] $F(y_n) \not \to [/mm] F(a)$, so kann man sich daraus eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] basteln, die monoton wachsend ist, gegen $a$ strebt aber mit [mm] $F(x_n) \not \to [/mm] F(a)$:
Wir definieren nun die Folge der [mm] $x_n$ [/mm] induktiv wie folgt:
Durch [mm] $x_n:=y_{m_n}$, [/mm] wobei wir erklären, wie die [mm] $m_n$ [/mm] gewählt werden:
Wegen $a [mm] \leftarrow y_k < a$ und $F(y_k) \not \to F(a)$ (bei $k \to \infty$) existiert ein $\varepsilon > 0$ so, dass für jedes $n \in \IN$ die Menge $N_n:=\{m \in \IN \mbox{ und }m > m_{n-1}:\;|F(y_m)-F(a)| > \varepsilon\}$ abzählbar unendlich viele Indizes enthält. Das gilt, sofern nur alle $m_n \in \IN_0$.
Wir setzen nun $m_0:=0$. Definiere nun $m_1:=\mbox{min}N_1$, also $x_1=y_{m_1}$.
Seien nun für $n \in \IN$ bereits $m_1,\,...,\;m_n \in N_{1}$ so gefunden, dass $x_1=y_{m_1} \le x_2=y_{m_2} \le ... \le x_n=y_{m_n}$.
(Man beachte, dass damit auch $N_{n+1} \subseteq N_n \subseteq N_{n-1} \subseteq ... \subseteq N_1$ gilt.)
Wegen $y_k \to a$ ($k \to \infty$) können wir folglich aus $N_{n+1}$ auch einen Index $r \in N_{n+1}$ so wählen, dass dieser $(0 < )\;a-y_r \le \frac{a-x_{n}}{2}$ erfüllt (insbesondere ist dann $r \in N_1$).
Sodann sei dies geschehen.
Wir setzen $m_{n+1}:=r$. Damit gilt dann $x_1=y_1 \le x_2=y_{m_2} \le ... \le x_n=y_{m_n} \le x_{n+1}=y_{m_{n+1}}$.
Nun ist $(x_n)_{n \in \IN}=(y_{m_n})_{n \in \IN}$ als Teilfolge von $(y_n)_n$ konvergent gegen $a$, nach Konstruktion ist $(x_n)_n$ monoton wachsend und ferner gilt wegen $m_n \in N_1$ ($n \in \IN$) zudem $F(x_n) \not\to F(a)$.
Damit ist gezeigt, dass man oben "Für alle Folgen $(x_n)_n$ mit $x_n < a$ und $x_n \to a$" ersetzen kann durch "Für alle monoton wachsende Folgen $(x_n)_n$ mit $x_n \to a$".
Gruß,
Marcel
[/mm]
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Hallo Marcel:
Du nimmst also an, dass es eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gibt mit [mm] $F(x_n)\not\to [/mm] F(x)$.
Wie wäre es mit dieser einfachen Argumentation: Jede Folge in [mm] $\R$ [/mm] besitzt eine monotone Teilfolge. Wegen [mm] x_n\to [/mm] x mit [mm] $x_n\leq [/mm] a$ gibt es also eine monoton wachsende Teilfolge [mm] $x_{n_k}$ [/mm] mit [mm] $F(x_{n_k})\not\to [/mm] F(x)$. Widerspruch!
Ach quatsch. Es kann ja trotzdem [mm] $F(x_{n_k})\to [/mm] F(x)$ gelten! Aber man kann die Argumentation mit dem Konvergenzprinzip retten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel:
>
> Du nimmst also an, dass es eine Folge [mm](x_n)_n[/mm] gibt mit
> [mm]F(x_n)\not\to F(x)[/mm].
>
> Wie wäre es mit dieser einfachen Argumentation: Jede Folge
> in [mm]\R[/mm] besitzt eine monotone Teilfolge. Wegen [mm]x_n\to[/mm] x mit
> [mm]x_n\leq a[/mm] gibt es also eine monoton wachsende Teilfolge
> [mm]x_{n_k}[/mm] mit [mm]F(x_{n_k})\not\to F(x)[/mm]. Widerspruch!
>
> Ach quatsch. Es kann ja trotzdem [mm]F(x_{n_k})\to F(x)[/mm] gelten!
> Aber man kann die Argumentation mit dem Konvergenzprinzip
> retten!
doch, das kann man schon retten, wenn Du diese Hilfsaussage mit der monoton wachsenden Folge benutzen darfst, d.h. sie kennst bzw. sie schon bewiesen wurde. Damit wird meine ganze Argumentation einfacher:
Sei [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] mit [mm] $F(x_n) \not\to [/mm] F(x)$ (eigentlich stand da immer [mm] $x_n \to [/mm] a$, aber wurscht, ob der Grenzwert nun $x$ oder $a$ heißt).
Dann gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $I:=\{m \in \IN:\;|F(x_m)-F(x)| > \varepsilon\}$ [/mm] abzählbar unendlich ist.
Daher können wir $I$ als geordnet annehmen, also [mm] $I=\{m_j;\;j \in \IN\}$ [/mm] mit [mm] $m_1 \le m_2 \le m_3 \le [/mm] ...$
Nun betrachten wir einfach die Folge [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$, [/mm] wobei wir definieren [mm] $y_n:=x_{m_n}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann gilt für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $|F(y_n)-F(x)|=|F(x_{m_n}-F(x)| [/mm] > [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Und nun wählen wir einfach von der Folge [mm] $(y_n)_n$, [/mm] die ja auch gegen $x$ strebt (weil [mm] $x_{m_n} \to [/mm] x$, da ja [mm] $(x_{m_n})_n$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ist) eine monoton wachsende Teilfolge, die gegen $x$ strebt, also:
Wenn wir diese mit [mm] $(y_{n_k})_k$ [/mm] bezeichnen:
Dann ist [mm] $(y_{n_k})_k$ [/mm] monoton wachsend gegen $x$, aber für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $|F(y_{n_k})-F(x)| [/mm] > [mm] \varepsilon$ [/mm]
Folglich gilt mit Sicherheit [mm] $F(y_{n_k}) \not\to [/mm] F(x)$ bei $k [mm] \to \infty$.
[/mm]
Und nur als Hinweis:
Die letzte Folge [mm] $(F(y_{n_k}))_k$ [/mm] ist schon sehr stark konstruiert, denn jedes Folgenglied liegt außerhalb des (offenen) [mm] $\varepsilon$-Kreises [/mm] um $F(x)$. Uns würde eigentlich reichen, dass [mm] $(y_{n_k})_k$ [/mm] monoton wachsend gegen $x$ ist und unendlich viele Folgenglieder von [mm] $(F(y_{n_k}))_k$ [/mm] außerhalb dieses offenen [mm] $\varepsilon$-Kreises [/mm] liegen. Aber wurscht
Gruß,
Marcel
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> > Sei [mm]F[/mm] linksseitig stetig in a, d.h. es gibt eine Folge
> > [mm]x_n\to a[/mm] von unten, so dass [mm]\lim F(x_n)=F(a)[/mm].
>
>
> linksseitige Stetigkeit bedeutet doch viel mehr als nur,
> dass eine solche Folge existiert !
>
> Für jede Folge [mm][/mm] mit [mm]x_n
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm] = a
> muss [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F(x_n)=F(a)[/mm] gelten.
Das ist mir schon klar. Es geht mir hier nur um die Monotonie
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