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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Liouville Formel
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Liouville Formel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 Mo 28.06.2010
Autor: Uebungistalles

Aufgabe
Sei [mm] x''-2x/(t^{2})=0 [/mm] eine DGL mit t>0. Finden sie die allgemeine Lösung der DGL mit der Liouville Formel.

Um die Liouville-Formel anwenden zu können braucht man erst einmal eine spezielle Lösung , die kannfrei gewählt werden und wäre beispielsweise
[mm] x_{0}(t)=t^{2} [/mm] . Nun finde ich im Skript die Liouvilleformel für diese DGL.

[mm] W(t)=W(t_{0})exp(-\integral_{t_{0}}^{t}{a_{1}(\gamma)) d\gamma} [/mm]
Dieses kann man auf die Form
[mm] (x/x_{0})'=(Cexp(-\integral_{a}^{b}{a_{1}(t) dt})/(x_{0})^{2} [/mm]

Jetzt frage ich mich aber , was hier [mm] a_{1} [/mm] darstellen soll , denn das braucht man ja nun unbedingt um integrieren zu können.

Danke vorab

        
Bezug
Liouville Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Mo 28.06.2010
Autor: MathePower

Hallo Uebungistalles,

> Sei [mm]x''-2x/(t^{2})=0[/mm] eine DGL mit t>0. Finden sie die
> allgemeine Lösung der DGL mit der Liouville Formel.
>  Um die Liouville-Formel anwenden zu können braucht man
> erst einmal eine spezielle Lösung , die kannfrei gewählt
> werden und wäre beispielsweise
>   [mm]x_{0}(t)=t^{2}[/mm] . Nun finde ich im Skript die
> Liouvilleformel für diese DGL.
>  
> [mm]W(t)=W(t_{0})exp(-\integral_{t_{0}}^{t}{a_{1}(\gamma)) d\gamma}[/mm]
>  
> Dieses kann man auf die Form
> [mm](x/x_{0})'=(Cexp(-\integral_{a}^{b}{a_{1}(t) dt})/(x_{0})^{2}[/mm]


Offenbar wurde hier die Substitution [mm]x\left(t\right)=x_{0}\left(t\right)*\integral_{}^{}{z\left(t\right) \ dt }[/mm] verwendet.

Dies führt auf eine DGL 1. Ordnung:

[mm]z'\left(t\right)+\bruch{2 *x_{0}' \left(t\right)}{x_{0}\left(t\right)}*z\left(t\right)=0[/mm]

Daher ist es wahrscheinlich, daß [mm]a_{1}\left(t\right)=\bruch{2 *x_{0}' \left(t\right)}{x_{0}\left(t\right)}[/mm] ist.


>  
> Jetzt frage ich mich aber , was hier [mm]a_{1}[/mm] darstellen soll
> , denn das braucht man ja nun unbedingt um integrieren zu
> können.
>  
> Danke vorab  



Gruss
MathePower

Bezug
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