Lipschitz-Bedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Karl87 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR^{2}, [/mm] f(x,y):= y*sin(x) erfüllt eine globale Lipschitz-Bedingung. Gilt dies auch für die Funktion g: D [mm] \to \IR, [/mm] g(x,y):= [mm] y^{2}*sin(x), [/mm] falls D ein beschränktes Gebiet im [mm] \IR^{2} [/mm] ist? |
Hallo Leute,
habe hier ein kleines Problem beim 2. Teil der Aufgabe!
Es muss gelten:
|f(x,y)-f(x,u)| [mm] \le [/mm] L|y-u| wobei L>0 die Lipschitz-Konstante ist.
Nun folgt daraus:
[mm] |y^{2}*sin(x) [/mm] - [mm] u^{2}*sin(x)| \le [/mm] L|y-u|
[mm] |(y^{2} [/mm] - [mm] u^{2}) [/mm] * sin(x)| [mm] \le [/mm] L|y-u|
[mm] |(y^{2} [/mm] - [mm] u^{2})| [/mm] * |sin(x)| [mm] \le [/mm] L|y-u|
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D gilt |sin(x)| [mm] \le [/mm] 1
Aber wie gehe ich weiter vor um [mm] |(y^{2} [/mm] - [mm] u^{2})|*|sin(x)| \le [/mm] L|y-u| abzuschätzen? Irgendwie komm ich hier nicht weiter! Mir ist iwie nicht genau klar was ich nun zeigen soll! Wie berücksichtige ich jetzt das beschränkte Gebiet D ?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Bin für jeden Rat dankbar.
LG.
Karl
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Hiho,
[mm] $|y^2 [/mm] - [mm] u^2| [/mm] = |(y+u)(y-u)| = |(y+u)||y-u|$
So, und nun überlege mal, ob bzw wieso |(y+u)| beschränkt ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:42 So 01.11.2009 | | Autor: | Karl87 |
Mh, weiß ich nicht!
Könnt ihr mir es erklären!?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 01.11.2009 | | Autor: | Karl87 |
Okay, habe jetzt noch mal Gedanken gemacht. Damit die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist, muss der Term |(y+u)| beschränkt sein! Und zwar [mm] |(y+u)|\le1
[/mm]
Somit gilt:
[mm]|y^2 - u^2| = |(y+u)(y-u)| = |(y+u)||y-u|\le1*|(y-u)|\le|(y-u)|[/mm]
Richtig!?
LG
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> Okay, habe jetzt noch mal Gedanken gemacht. Damit die
> Lipschitz-Bedingung erfüllt ist, muss der Term |(y+u)|
> beschränkt sein! Und zwar [mm]|(y+u)|\le1[/mm]
Warum muss der Term [mm] $\le [/mm] 1$ sein?
Du sollst dich ja fragen, warum es ein L gibt, so dass $|y+u| [mm] \le [/mm] L$, wenn g auf einem beschränkten Gebiet operiert.
Überlege dir, was wäre, wenn |y+u| nicht beschränkt wäre (wird wohl, welch überraschung, darauf hinauslaufen, dass D nicht beschränkt war, was ein Widerspruch wäre).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 So 01.11.2009 | | Autor: | Karl87 |
Achso ja, okay, dann war das quatsch. Aber mir fehlt iwie das Vorstellungsvermögen noch. Kannst du mir den Widerspruch mal erklären!? Oder an einem anderem Beispiel verdeutlichen?
Versteh noch nicht diese Abschätzung für |y+u| [mm] \le [/mm] L.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist D [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] beschränkt, also ex. ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit
[mm] $\wurzel{x^2+y^2} \le [/mm] L/2 $ für alle (x.y) [mm] \in [/mm] D
Insbesondere: $|y| [mm] \le [/mm] L/2$ für alle (x.y) [mm] \in [/mm] D. Sind nun (x.y), (x,u) [mm] \in [/mm] D, so ist
$|y+u| [mm] \le [/mm] |y|+|u| [mm] \le [/mm] L$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Karl87 |
> Es ist D [mm]\subseteq \IR^2[/mm] beschränkt, also ex. ein L [mm]\ge[/mm] 0
> mit
>
> [mm]\wurzel{x^2+y^2} \le L/2[/mm] für alle (x.y) [mm]\in[/mm] D
>
> Insbesondere: [mm]|y| \le L/2[/mm] für alle (x.y) [mm]\in[/mm] D.
Es gilt also nach |y+u| [mm] \le [/mm] L, dass: [mm]|y| \le L/2[/mm]?
Und nun folgere ich daraus:
> Sind nun
(x.y), (x,u) [mm]\in[/mm] D, so ist
[mm]|y+u| \le |y|+|u| \le L[/mm]
und somit erfüllt die Fkt. die Lipschitz-Bedingung!?
Versteh jetzt den Zusammenhang noch nicht ganz!
>
> FRED
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Oben habe ich Dir geschrieben:
Es ist D $ [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] $ beschränkt, also ex. ein L $ [mm] \ge [/mm] $ 0 mit
$ [mm] \wurzel{x^2+y^2} \le [/mm] L/2 $ für alle (x.y) $ [mm] \in [/mm] $ D
Insbesondere: $ |y| [mm] \le [/mm] L/2 $ für alle (x.y) $ [mm] \in [/mm] $ D. Sind nun (x.y), (x,u) $ [mm] \in [/mm] $ D, so ist
$ |y+u| [mm] \le [/mm] |y|+|u| [mm] \le [/mm] L $
Für (x.y), (x,u) $ [mm] \in [/mm] $ D ist dann:
$|g(x,y)-g(x,u)| = |sin(x)|*|y+u|*|y-u| [mm] \le [/mm] L*|y-u|$
wie gewünscht.
FRED
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