Lipschitz-Bedingung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 So 10.01.2010 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion f: [mm] \IR \rightarrow \IR, [/mm] die gegeben ist durch f(x) = [mm] \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x^2}) & \mbox{für } x \not= 0, \\ 0 & \mbox{für } x=0. \end{cases}.
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass f eine horizontale Asymptote hat.
2. Zeigen Sie, dass f stetig ist.
3. Skizzieren Sie den Graphen von f.
4. Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist.
5. Ist f stetig differenzierbar?
6. Zeigen Sie, dass f keine Lipschitz-Bedingung auf [mm] \IR [/mm] erfüllt. |
Hallo zusammen!
Ich habe oben mal die ganze Aufgabe aufgeschrieben, obwohl ich nur zur Nr. 6 ne Frage habe. 1-5 ist relativ gut zu zeigen, aber vielleicht gibts da andere, die dazu noch Fragen haben, dann haben wir die Aufgabe schonmal da...
Also zu meiner Frage:
Im Prinzip verstehe ich glaube ich einfach die Aufgabenstellung nicht von Nr. 6. In 4. hab ich ja gezeigt, dass f überall differenzierbar ist. Ein Lemma der Vorlesung besagt nun folgendes:
"Sei I ein Intervall in [mm] \IR. [/mm] Wenn f differenzierbar ist in a [mm] \in [/mm] I, dann ist f Lipschitz-stetig in a."
Wir wissen also, dass f (überall) Lipschitz-stetig ist.
Wieso soll ich jetzt zeigen, dass f keine Lipschitz-Bedingung auf [mm] \IR [/mm] erfüllt?
Schönen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinen Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Julian,
die Aufgabe 1, 2 und 4 wurde schon
hier geklärt.
Aufgaben 5 und 6 würden mich aber auch mal interessieren.
Reicht es bei 5 zu zeigen, dass
[mm] \limes_{x\downarrow 0} [/mm] f'(x) = [mm] -\infty [/mm] und
[mm] \limes_{x\uparrow 0} [/mm] f'(x) = [mm] \infty [/mm] ist?
Gruß, Gratwanderer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 So 10.01.2010 | | Autor: | JulianTa |
Ich habs mit dem Folgenkriterium gemacht.
Nimm dir ne Folge, die gegen 0 konvergiert, hier z.B. [mm] \frac{1}{n}. [/mm] Dann müsste auch f'( [mm] \frac{1}{n}) [/mm] gegen f'(0) = 0 gehen.
Es ist aber [mm] f'\left( \frac{1}{n}\right) [/mm] = [mm] \frac{2}{ \frac{1}{n}} \cdot (1-\cos\left(\frac{1}{ (\frac{1}{n})^2}\right))
[/mm]
= 2n [mm] \cdot [/mm] (1- [mm] \cos(n^2)) [/mm] > 2n [mm] \cdot [/mm] 2 = 4n [mm] \rightarrow \infty [/mm] für n [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
Ob es einfach reicht zu zeigen, was du meinst, bin ich mir nicht sicher...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 So 10.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Wir betrachten die Funktion f: [mm]\IR \rightarrow \IR,[/mm] die
> gegeben ist durch f(x) = [mm]\begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x^2}) & \mbox{für } x \not= 0, \\ 0 & \mbox{für } x=0. \end{cases}.[/mm]
>
> 6. Zeigen Sie, dass f keine Lipschitz-Bedingung auf [mm]\IR[/mm]
> erfüllt.
>
> Also zu meiner Frage:
> Im Prinzip verstehe ich glaube ich einfach die
> Aufgabenstellung nicht von Nr. 6. In 4. hab ich ja gezeigt,
> dass f überall differenzierbar ist. Ein Lemma der
> Vorlesung besagt nun folgendes:
> "Sei I ein Intervall in [mm]\IR.[/mm] Wenn f differenzierbar ist in
> a [mm]\in[/mm] I, dann ist f Lipschitz-stetig in a."
Hm... so eine Definition von punktweiser Lipschitz-Stetigkeit kenne ich garnicht, Lipschitz-Stetigkeit ist normalerweise immer etwas, was zumindest für alle Elemente einer Umgebung von a gelten müsste.
Nimm Dir z.B. mal $f(x) = tan(x)$ auf [mm] $I=\left(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}\right)$ [/mm] und $a = 0$.
Dann gibt es kein $L>0$, so dass für alle [mm] $x\in [/mm] I$ gilt $|tan(x)-tan(a)| [mm] \le L\cdot [/mm] |x-a|$, wenn Du mit $x$ an den Rand von $I$ gehst, wird die Sekante immer steiler.
Vielleicht widerspricht das Beispiel auch den Voraussetzungen eures Lemmas, aber das kann ich gerade nicht überprüfen ($I$ abgeschlossen, etc.).
> Wir wissen also, dass f (überall) Lipschitz-stetig ist.
Gehen wir mal davon aus, dass ich diese punktweise Lipschitz-Stetigkeit einfach nicht kenne, das kann durchaus sein. Dann ist diese Schlussfolgerung trotzdem falsch.
Die Funktion ist dann tatsächlich an jedem Punkt Lipschitz-stetig, aber womöglich mit jeweils einer anderen Lipschitz-Konstante. Um auf dem gesamten Definitionsbereich Lipschitz-stetig zu sein, muss es aber eine maximale Konstante geben, die an keinem Punkt überschritten wird:
$f$ heisst Lipschitz-stetig auf $I$, wenn es ein $L > 0$ gibt, so dass für alle [mm] $x,y\in [/mm] I$ gilt $|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|$.
Du musst also quasi zeigen, dass die Ableitung irgendwo unbeschränkt ist.
Gruß,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 10.01.2010 | | Autor: | JulianTa |
Gut, dann reicht ja zu zeigen, dass es für es zumindest für ein Paar x,y so ein L nicht gibt.
So etwa?: Sei x [mm] \in \IR \backslah \{0\} [/mm] und y = 0.
Dann ist
|f(x) - f(0)| = [mm] \left|x^2 \cdot \sin \left(\frac{1}{x^2} \right)\right| [/mm]
= [mm] \left|x \cdot \sin \left(\frac{1}{x^2} \right)\right| \cdot \left|x-0 \right|
[/mm]
Und [mm] \left|x \cdot \sin \left(\frac{1}{x^2} \right)\right| [/mm] ist offensichtlich nicht beschränkt wenn x groß wird.
Ist das gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 So 10.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Gut, dann reicht ja zu zeigen, dass es für es zumindest
> für ein Paar x,y so ein L nicht gibt.
> So etwa?: Sei x [mm]\in \IR \backslah \{0\}[/mm] und y = 0.
> Dann ist
> |f(x) - f(0)| = [mm]\left|x^2 \cdot \sin \left(\frac{1}{x^2} \right)\right|[/mm]
> = [mm]\left|x \cdot \sin \left(\frac{1}{x^2} \right)\right| \cdot \left|x-0 \right|[/mm]
>
> Und [mm]\left|x \cdot \sin \left(\frac{1}{x^2} \right)\right|[/mm]
> ist offensichtlich nicht beschränkt wenn x groß wird.
So offensichtlich finde ich das garnicht, immerhin geht [mm] $sin(x^{-2})$ [/mm] ja gegen 0, vielleicht kompensiert das ja den linearen Anteil? (Tut es nicht, aber "offensichtlich" sollte mit Vorsicht benutzt werden.)
/e
Vorzeichenfehler meinerseits, tatsächlich kompensiert das [mm] $sin(x^{-2})$ [/mm] den linearen Term $x$. Der Term [mm] $x\cdot sin(x^{-2})$ [/mm] konvergiert für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] gegen 0. Rechne das mal bitte nach.
> Ist das gemeint?
Ja, konzeptuell ist sowas gemeint. Allerdings bin ich mir ziemlich sicher, dass der Schwerpunkt der Aufgabe in dem Bereich um 0 herum liegt.
Die Idee ist, dass die Funktion zwar durch den Faktor [mm] $x^{2}$ [/mm] schön eingeschränkt wird, dass aber die Oszillationen vom [mm] $sin(x^{-2})$-Term [/mm] so groß werden (bzw. die Böden vom Sinus so eng aneinanderrücken), dass man immer steiler Sekanten finden kann, wenn sich $x$ und $y$ null nähern.
Gruß,
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mo 11.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Ein Lemma der
> Vorlesung besagt nun folgendes:
> "Sei I ein Intervall in [mm]\IR.[/mm] Wenn f differenzierbar ist in
> a [mm]\in[/mm] I, dann ist f Lipschitz-stetig in a."
Das ist doch völliger Quatsch ! So ein Lemma hattet Ihr bestimmt nicht in der Vorlesung !
Dieses Lemma lautet so:
"Sei I ein Intervall in [mm]\IR.[/mm] Wenn f differenzierbar ist auf I und die Ableiting beschränkt ist auf I, dann ist f Lipschitz-stetig auf I"
FRED
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