Lipschitz-Bedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe
x' [mm] =(2+\cos(t)) x^{2/3}-\sin(t) [/mm] , x(0)=0
Zeige dass die rechte Seite f(t,x) der Gleichung der Lipschitz-Bedingung bezüglich x auf dem Gebiet G= [mm] \left\{ (t,x): \left| t \right|\le a, \left| x \right|\le b,\right\} [/mm] nicht erfüllt
Für welches [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta (\alpha <\beta) [/mm] genügt die Funktion der Lip.-Bedingung bez. x auf dem Gebiet
G= [mm] \left\{ (t,x): \left| t \right|\le a, \alpha \le x \le b,\right\} [/mm] |
Hi,
hoffe ich stelle nicht schon eine vorhandene Frage, über die Suchfunktion fand ich nix (google war auch nicht gerade eine Goldmine) von daher hoffe ich jemand könne mir bei der Lipschitz Bedingung helfen:
Also ich glaube den ersten Teil hab ich soweit:
[mm] \left| \left| f(t,u)-f(t,v) \right| \le L \left| u-v \right|
\left| f(t,u)-f(t,v) \right|=\left| -\sin(t)+\sin(t)+(2+\cos(t))u^{2/3}-(2+\cos(t))v^{2/3} \right|
=\left|(2+\cos(t))(u^{2/3}-v^{2/3} )\right| , \left|2+\cos(t)\le 3\right|
\le 3 \left|(u^{2/3}-v^{2/3} )\right| | mit (u^{2/3}+v^{2/3}) erweitern
\le 3 \left|\bruch{u-v}{u^{2/3}-v^{2/3}})\right|
\right|
[/mm]
hier sieht man, dass L=3 [mm] \left|\bruch{1}{u^{2/3}+v^{2/3}})\right| [/mm] sein muss, also von u bzw. v abhängig ist und somit beliebig und nicht konstant ist (bzw. in der Vorlesung wurde für u, 0 eingesetzt und dann L in Abhängigkeit von v angegeben, aber das sollte doch eig wurscht sein ?)
Jedoch jetzt habe ich echt gar keinen Ansatz wie ich [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] bestimmen muss (das Thema ist neu und wir hatten keine Beispielaufgabe). Wäre für alles Dankbar, praktisch wäre natürlich ein erklärter Lösungsweg =D.
Schon mal vielen Dank für die Mühe.
Ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Schreibe mal die Def. von Lipschitz Stetigkeit genau hin und prüfe dann ob deine Behauptung dass nicht Lipschitz stimmt.
lg
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Habe ich das nicht schon?
Oke hab vergessen dass L>0 sein muss und damit f lokal Lipschitz stetig ist, genügt es wenn es in einem Punkt vom Gebiet G (?), eine Umgebung gibt, in der f Lipschitz stetig ist.
Heißt es, dass ich einfach sagen wir mal um einen Punkt (t,u)=(10,2) (Mittelpunkt) ein Kreis mit dem Radius 1 bilde, gilt für x: [mm] x\le\bruch{1}{1^{2/3}} [/mm] und [mm] x\ge\bruch{1}{3^{2/3}}
[/mm]
und so hätte ich ja schon meine Grenzen? Wobei was ist mit dem Anfangswert x(0)=0? muss es nicht berücksichtigt werden?
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Hiho,
vorweg: dein Schritt mit dem Erweitern stimmt nicht.
Davon mal ganz abgesehen: Du schätzt nach oben ab und willst dann zeigen, dass es keine Konstante gibt, so dass dein abgeschätztes noch Lipschitz stetig ist.
Wer sagt dir denn, dass du nicht einfach "zu viel" abgeschätzt hast? Also dass deine Abschätzung zu grob war?
Das wäre wie folgendes: Ich möchte zeigen, dass 0 nicht kleiner ist als 1. Es gilt ja:
$0 [mm] \le [/mm] 5 [mm] \not\le [/mm] 1$
ergo ist Null nicht kleiner als 1....
Überlege dir folgendes: Du darfst natürlich |2 + [mm] \cos(t)| [/mm] durch 3 abschätzen ohne obiges Problem zu haben (warum?).
Du erhälst also: [mm] $3|u^\bruch{2}{3} [/mm] - [mm] v^\bruch{2}{3}|$. [/mm]
Mach dir klar: Die 3 vorne ist für die Lipschitzstetigkeit völlig egal, und das im Bruch ist das gleiche wie das Stetigkeitskriterium für $g(x) = [mm] x^\bruch{2}{3}$.
[/mm]
D.h. deine Funktion ist Lipschitzstetig genau dann, wenn g(x) Lipschitzstetig ist.
Ist g das?
MFG,
Gono.
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oke hab mich vertippt, im Nenner sollte ein + stehen also
3 [mm] |\bruch{u-v}{u^{2/3}+v^{2/3}}|
[/mm]
aber sonst sollte es doch richtig sein oder?
und das mit der 3 versteh ich auch.
Ich würde sagen, dass g(x) nicht Lipschitzstetig ist, da es gilt [mm] |\bruch{u-v}{u^{2/3}+v^{2/3}}|\le [/mm] L |u-v|
also folgt [mm] L\ge |\bruch{1}{u^{2/3}+v^{2/3}}|, [/mm] L [mm] \not= [/mm] const.
Und wie würde ich somit auf [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] kommen oder waren meine Überlegungen in der 2. Frage richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Sa 01.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Erweitern ist falsch. rechne mal wirklich aus!
2. je nach Intervall in dem u,v liegt, kannst du doch deinen Ausdruck einfach das max von [mm] u^{2/3}-v^{2/3} [/mm] nehmen, dann hast du ein L. aber wes ist wenn, wie hier 0 in dem Intervall liegt?
[mm] x^{2/3} [/mm] hat bei 0 eine senkrechte Tangente!
Gruss leduart
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Vorab: Vielen Dank für die vielen (vorallem schnellen) Hilfestellungen: Ihr seid die Besten =D
oke das mit dem Erweitern ist peinlich =D
naja dann muss halt gelten
[mm] |u^{2/3}-v^{2/3}|\le [/mm] L |u-v|
[mm] \bruch{|u^{2/3}-v^{2/3}|}{|u-v|} \le [/mm] L [mm] \not= [/mm] const.
naja also mit dem Tipp zu 2. komm ich bissn durcheinander.
Ich bin mal über die "Existenz der Lösung , Peano 1890" gestolpert und da soll man das max. von f(t,x)( =M) bestimmen, aber wie soll man sowas machen?
weiter habe ich gelesen, dass sich Minimum danach aus dem Grenzwert a ( [mm] |t-t_{0}|\le [/mm] a ) und dem Grenzwert b/M zusammensetzt also zusammengefasst:
[mm] x(t_{0})=x_{0}
[/mm]
[mm] G=\{(t,x): |t-t_{0}|\le a , |x-x_{0}|\le b, a,b>0\}
[/mm]
[mm] M:=\max_{(t,x)\in G}|f(t,x)|>0, \alpha=min(a,\bruch{b}{M})
[/mm]
und daraus ergibt sich ein Gebiet [mm] J=[t_{0}-\alpha,t_{0}+\alpha] [/mm] indem sich eine Lösung des AWA befindet
so wie ich das jetzt verstanden habe, habe ich ja x^(2/3) und das hat ein globales Minimum bei 0.
Demnach ist min(0,0)also muss b/M = 0 sein, was nur für b=0 gilt, doch dies wiederum würde bedeuten, dass immer gilt x=0?
Stehe da wirklich auf dem Schlauch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Di 04.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Sa 01.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Wir nehmen an, f sei L-Stetig bezügl. x: also ex. ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:
|f(t,u)-f(t,v)| [mm] \le [/mm] L|u-v| für |t| [mm] \le [/mm] a und |u|,|v| [mm] \le [/mm] b.
Für t=0 und v=0 liefert das:
[mm] 3*|u|^{2/3} \le [/mm] L*|u| für |u| [mm] \le [/mm] b.
Es folgt
3 [mm] \le L*|u|^{1/3} [/mm] für 0<u<b
Nun lass mal u gegen 0 gehen.
FRED
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