Lipschitz-stetig & Mittelwerts < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Janyary |
hi leute,
haben heut klausur geschrieben und da war ne aufgabe in der man die lipschitz-stetigkeit einer funktion mit hilfe des mittelwertsatzes zeigen sollte.
f(x)= [mm] \bruch{x}{x^{2}+1} [/mm]
Leider kann ich mich nicht mehr an ein gegebenes Intervall erinnern.
ich kenn die definition fuern mittelwertsatz, der besagt ja: wenn
f: [mm] [a,b]\to\IR [/mm] auf [a,b] stetig und auf (a,b) diffbar, dann [mm] \exists \gamma \in(a,b) [/mm] so dass gilt
[mm] f'(\gamma)=\bruch{f(a)-f(b)}{a-b}
[/mm]
und lipschitz-stetigkeit kann man ja auch nachweisen mit:
[mm] \exists [/mm] L>0 : |f(a)-f(b)|<=L*|a-b|
jetzt hab ich die erste gleichung umgeformt
[mm] f'(\gamma)*(a-b)=f(a)-f(b)
[/mm]
das sieht ja schon fast so aus wie die lipschitzdefinition. Jetzt weiss ich nur nicht, ob dieser ansatz ueberhaupt richtig ist und falls ja, wie ich nun weitermachen muesste. Waere wirklich super, wenn mir jemand erklaeren koennte wies gemacht wird.
schon mal danke schoen im vorraus.
LG Jany :)
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Hallo Janyary,
du hast recht, das sieht schon sehr gut aus! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") .
Für beliebige [mm] $a,b\in \IR$ [/mm] gibt es also ein [mm] $\gamma\in [/mm] (a,b)$ mit
[mm] $f'(\gamma)\cdot [/mm] (a-b)=f(a)-f(b)$
Setzt man Beträge, dann gilt auch
[mm] $|f'(\gamma)|\cdot [/mm] |a-b|=|f(a)-f(b)|$
was noch besser aussieht. Was wir jetzt ja nur noch brauchen, ist eine abschätzung des [mm] $|f'(\gamma)|$-Termes, [/mm] und zwar unabhängig von $a$ und $b$. Du müsstest also einmal die erste ableitung von $f$ berechnen und prüfen, ob man den betrag dieser ableitung gleichmäßig gegen eine Konstante abschätzen kann. Wenn ja, dann ist diese Konstante auch Lipschitz-Konstante.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Janyary |
hi,
danke schoen erstmal fuer die antwort.
darf man denn so einfach betraege setzen?
hab nun die erste ableitung gebildet, die ist:
[mm] f'(x)=\bruch{-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
Jetzt tu ich mich mit abschaetzsachen immer sehr schwer...
hab immer nicht so wirklich ne idee wie ichs abschaetzen soll.
das einzige was mir nun auffallen wuerde, waer, dass meine ableitung immer kleiner eins ist.
hilft mir das irgendwie weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> darf man denn so einfach betraege setzen?
So einfach setzt man die ja nicht, man hat eine richtige Gleichung, dann kann man Beträge setzen ...
> hab nun die erste ableitung gebildet, die ist:
> [mm]f'(x)=\bruch{-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
Okay, ich nehme mal an, das die richtig ist
> Jetzt tu ich mich mit abschaetzsachen immer sehr schwer...
> hab immer nicht so wirklich ne idee wie ichs abschaetzen
> soll.
Das brauch man gar nicht explizit machen hier! Und zwar geht das so: [m]f'[/m] ist offenbar auf ganz [m]\IR[/m] definiert und stetig. Weiter sieht man leicht das [m]\lim_{x\to\pm\infty f'=0[/m]. Daraus folgt schon, dass die Funktion auf ganz [m]\IR[/m] beschränkt ist (Übungsaufgabe für dich! Hinweis: Satz von Maxima und Minima auf Kompakta).
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Janyary |
vielen dank nochmal...
also ich hab mir die funktion mal gezeichnet und festgestellt, dass 1 maximum waer. beim minimum bin ich mir nicht so sicher. Kann man das rechnerisch ermitteln? jedenfalls bin ich mir ziemlich sicher, dass -0.25 eine moegliche untere Schranke waere. Mein [mm] f'(\gamma) [/mm] ist ja irgendwie meine Lipschitzkonstante, richtig?
wenn [mm] f'(\gamma) [/mm] also maximal 1 sein kann, koennte ich dann sagen, dass gilt:
1*|a-b|>=|f(a)-f(b)|
und haette damit die Lipschitz-Stetigkeit gezeigt, oder muss ich dabei nun noch irgendwas beachten?
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Hallo janyary,
nur nochmal der klarheit halber: es geht darum $|f'|$ abzuschätzen, nicht $f'$. Wenn Du das getan hast, ist die erhaltene Konstante auch Lipschitz-Konstante, ja.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Janyary |
ah ok, das hatte ich nicht beachtet. das heisst, da mein |f'| maximal 1 sein kann, ist 1 auch meine lipschitzkonstante?
und meine funktion damit lipschitz-stetig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Janyary |
super vielen dank. nun hab ich zumindest immer schon nen ansatz wies zu machen ist :)
muss das dann nur immer mit dem abschaetzen klappen *g*
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