Lipschitz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] , f(a) = 3a+2
Ist f lip.stetig auf [mm] \IR [/mm] bzw. ist f glm. stetig auf [mm] \IR? [/mm] |
Hi an alle!
Komme hier leider weiter.
Seien [mm] a_{1}, a_{2} \in \IR [/mm] : | [mm] f(a_{1}) [/mm] - [mm] f(a_{2}) [/mm] = | [mm] (3a_{1}+2)-(3a_{2}+2))
[/mm]
aber hier stehe ich an, muss ja zeigen dass der Abstand [mm] d_{2} [/mm] nicht kleinergleich c * [mm] d_{1} [/mm] ist, oder?
Für gleichmäßige Stetigkeit habe ich dann leider auch keinen richtigen Ansatz.
Die gleiche "Übung" müssen wir übrigens für [mm] \wurzel{a} [/mm] auf dem interval [0,1] auch machen.
Vielleicht könnte mir hier jemand weiterhelfen? Würde mich sehr freuen!
Danke für eure Zeit,
lg Sr
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Mo 26.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Seien [mm]a_{1}, a_{2} \in \IR[/mm] : | [mm]f(a_{1})[/mm] - [mm]f(a_{2})[/mm] = |
> [mm](3a_{1}+2)-(3a_{2}+2))[/mm]
Jetzt fasse das noch zusammen zu [mm] $3|a_1-a_2|$
[/mm]
> Für gleichmäßige Stetigkeit habe ich dann leider auch
> keinen richtigen Ansatz.
Zeige, dass jede Lipschitzstetige Funktion auch gleichmäßig stetig ist.
> Die gleiche "Übung" müssen wir übrigens für [mm]\wurzel{a}[/mm]
> auf dem interval [0,1] auch machen.
Die ist nicht Lipschitzstetig (aber glm. stetig). Nur so als Tip: Schau dir den Punkt 0 an!
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Roli772 |
Ah, danke =)
Glaube, da muss ich wohl nächstes mal genauer hinschauen *g*
Hab nachgesehen, wir hatten ohnehin schon einen Satz, der besagt, dass jede lip.stetige Fkt auch auch glm. stetig ist. Damit wäre das auch gelöst.
Ok, der Tipp ist gut. Denn [mm] \wurzel{a} [/mm] wird in der Nähe von 0 beliebig steil.
Aber wie schreib ich das jetzt hin?
[mm] \forall [/mm] c [mm] \exists a_{1},a_{2} [/mm] mit [mm] d_{2}(\wurzel{a_{1}},\wurzel{a_{2}}) [/mm] > c * [mm] d_{1}(a_{1},a_{2}), [/mm] und dann?
Kann ich da x gleichmal als 0 wählen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $f(x) = [mm] \wurzel{x}$
[/mm]
1. f ist auf [0,1] stetig und [0,1] ist kompakt, also ist f auf [0,1] glm. stetig
2. f ist auf [0,1] nicht Lipschitzstetig ! Dazu nimm an f sei auf diesem Intervall doch L . - stetig, es gibt also ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit
[mm] $|\wurzel{x}-\wurzel{y}| \le|x-y|$ [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] [0,1]
So, nun setze mal oben y = 0 und versuche zu einem Widerspruch zu kommwn.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Roli772 |
Ok, dann probier ich das mal: also
Sei y=0 [mm] \Rightarrow \forall x\in(0,1] [/mm] : [mm] \wurzel{x} \le [/mm] L * x
[mm] \gdw \wurzel{x} \le [/mm] L [mm] \gdw \wurzel{x} \ge [/mm] L
Hm.. habe aber noch immer keinen rechten Widerspruch, oder doch?
Mfg Sr.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Roli772 |
Ubs, habe mich verschrieben, es muss natürlich zum schluss heißen
[mm] \wurzel{x} \re [/mm] (1/L)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Mo 26.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Wenn es ein $L>0$ gibt sodass für alle [mm] $x\in(0,1]$ [/mm] gilt [mm] $\sqrt{x}\le [/mm] Lx$, dann [mm] $1/\sqrt{x}\le [/mm] L$ für alle [mm] $x\in(0,1]$. [/mm] Das kann aber nicht sein, denn z.B. für [mm] $x_n=1/n^2$ [/mm] gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}1/\sqrt{x_n}=\infty$ [/mm] (siehe deine andere Frage...).
Gruß, Robert
|
|
|
|
