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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:40 So 22.11.2009 | | Autor: | ftm2037 |
| Aufgabe | Bestimme für das System gewöhnliche Differentialgleichung
[mm] u'_{1}(t)=3u_{1}(t)+4u_{2}(t)
[/mm]
[mm] u'_{2}(t)=5u_{1}(t)-6u_{2}(t)
[/mm]
die Lipschitz Konstante in der [mm] \parallel.\parallel_{\infty} [/mm] und in der [mm] \parallel.\parallel_{1} [/mm] -Norm. |
Hallo,
ich habe erst mit der max-Norm angefangen. Dafür habe ich u, v, f(u) und f(v) wie folgt vorgesgtellt und dann die Ungleichung
[mm] \parallel [/mm] f(u)-f(v) [mm] \parallel_{\infty} \le \parallel u-v\parallel_{\infty} [/mm] angewendet:
Es seien u' = f(t,u)
[mm] u=\vektor{u_{1} \\ u_{2}} [/mm] und
[mm] v=\vektor{v_{1} \\ v_{2}} [/mm]
dann ist
[mm] f(u)=\vektor{3u_{1}+4u_{2} \\ 5u_{1}-6u_{2}}
[/mm]
[mm] f(v)=\vektor{3v_{1}+4v_{2} \\ 5v_{1}-6v_{2}}
[/mm]
f(u)-f(v) [mm] =\vektor{3u_{1}+4u_{2} - 3v_{1}+4v_{2} \\ 5u_{1}-6u_{2} - 5v_{1}-6v_{2}}
[/mm]
Einsatz:
[mm] \parallel [/mm] f(u)-f(v) [mm] \parallel_{\infty} [/mm] = [mm] \parallel \vektor{3u_{1}+4u_{2} - 3v_{1}+4v_{2} \\ 5u_{1}-6u_{2} - 5v_{1}-6v_{2}}\parallel_{\infty} [/mm] = [mm] \parallel \vektor{3(u_{1}-v_{1})+4(u_{2}-v_{2}) \\ 5(u_{1}-v_{1})- 6(u_{2}-v_{2})}\parallel _{\infty}
[/mm]
Weil wir die max-Norm haben, muss ich jetzt die größte Komponente schreiben. Soll ich mit u und v weiter machen? Ich meine :
Angnommen u < v. Also dann ist [mm] u_{1}
Ich wäre sehr dankbar, wenn einer mir helfen könnte.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 30.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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