Lipschitz Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Di 18.04.2006 | | Autor: | Gallore |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bereite mich auf meine Vodiplomsprüfung in Analysis I+II vor, und rechne mit Folgender Frage:
"Warum ist eine stetig differenzierbare Funktion immer Lipschitzstetig?"
Das soll über den Mittelwertsatz gut funktionieren:
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)
[/mm]
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
|f(b)-f(a)| = f'(c)*|b-a|
Wenn ich nun eine Konstante L finde, für die für alle a und b gilt:
f'(c) [mm] \le [/mm] L,
dann hab ich die Lipschitzstetigkeit.
Ich weiß ja, dass f'(c) stetig ist, aber für die Lipschitzstetigkeit müsste f'(c) doch beschränkt sein, oder? Ich könnte f natürlich auf ein Interval beschränken, aber das beißt sich ja mit dem IMMER in der Frage...
Vielen Dank, für Hilfestellungen!
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Hallo Gallore,
nein, du hast völlig recht: stetig diffbare funktionen auf unbeschränkten gebieten müssen nicht lipschitz sein. Wenn die ableitung beliebig groß wird, simples beispiel [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] kannst du anhand des mittelwertsatz-argumentes zeigen, dass die funktion nicht lipschitz ist. Sie ist aber immer noch lokal lipschitz.
VG
Matthias
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