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Hallo,
ich weiß nicht, ob ich mit meiner Frage hier richtig bin.
Meine Frage ist total einfach, aber ich komme damit im Moment irgendwie nicht klar.
Hinreichend für die Lipschitz-Bedingung auf einem Rechteck ist: [mm] f_{y} [/mm] existiert auf G und ist stetig.
Da ich nach y ableite sind die x Konstanten und ich muss prüfen, ob die Terme, in denen y's drin vorkommen stetig sind.
Um die Lipschitzbedingung auf einer beliebigen konvexen Menge zu zeigen, muss ich ja zeigen, dass [mm] f_{y} [/mm] auf dieser beschränkt ist. Auch hier geht es nur um die y's der Funktion, oder? Also [mm] f_{y}=2x [/mm] beschränkt, aber [mm] f_{y}=3y+x [/mm] nicht.
Wär das so richtig?
Gruß
LordPippin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Di 15.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich weiß nicht, ob ich mit meiner Frage hier richtig bin.
> Meine Frage ist total einfach, aber ich komme damit im
> Moment irgendwie nicht klar.
>
> Hinreichend für die Lipschitz-Bedingung auf einem Rechteck
ist dieses Rechteck offen , halboffen oder abgeschlossen .... ?
> ist: [mm]f_{y}[/mm] existiert auf G und ist stetig.
Na ja, das hängt von den top. Eigenschaften des Rechtecks ab.
> Da ich nach y ableite sind die x Konstanten und ich muss
> prüfen, ob die Terme, in denen y's drin vorkommen stetig
> sind.
???????????? [mm] f_y [/mm] ist eine Funktion von x und y !!
> Um die Lipschitzbedingung auf einer beliebigen konvexen
> Menge zu zeigen, muss ich ja zeigen, dass [mm]f_{y}[/mm] auf dieser
> beschränkt ist. Auch hier geht es nur um die y's der
> Funktion, oder?
Nein . Siehe oben.
Also [mm]f_{y}=2x[/mm] beschränkt, aber [mm]f_{y}=3y+x[/mm]
> nicht.
>
> Wär das so richtig?
Nein, obwohl mir nicht so recht klar ist, womit Du Probleme hast.
Nenne doch mal ein konkretes Beispiel
FRED
>
> Gruß
>
> LordPippin
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Hallo fred,
beim Rechteck haben ich folgende Menge: [mm] G=\{(x,y)\in \IR^{2} | x_{0}-a \le x \le x_{0}+a ; y_{0}-b \le y \le y_{0}+b \}
[/mm]
Es geht allgemein darum, dass ich prüfen möchte, ob ein AWP eine Lösung hat. Das möchte ich mit dem Satz von Picard-Lindelöf auf einem Streifen und mit dem auf einem Rechteck machen.
Konkret:
Mit dem Satz von Picard-Lindelöf auf einem Streifen, dass das AWP y'=2x(1+y) , y(0)=0 auf [mm] \IR [/mm] genau eine Lösung hat.
Mein Ansatz:
I = [mm] \IR [/mm] G = [mm] I\times\IR [/mm] (mein Streifen)
f=2x(1+y) , [mm] f:G\to\IR [/mm] stetig
Jetzt geht es um die Lipschitz-Bedingung. Hier würde es ja reichen zu zeigen, dass [mm] f_{y}=2x [/mm] auf G (hier: [mm] \IR) [/mm] beschränkt ist.
Hier ist mein Problem. Ich kann mir nicht vorstellen, ob [mm] f_{y}=2x [/mm] beschränkt ist und wenn ja, wieso. Das gleiche bei der Stetigkeit auf einem Rechteck.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Di 15.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
> beim Rechteck haben ich folgende Menge: [mm]G=\{(x,y)\in \IR^{2} | x_{0}-a \le x \le x_{0}+a ; y_{0}-b \le y \le y_{0}+b \}[/mm]
>
> Es geht allgemein darum, dass ich prüfen möchte, ob ein
> AWP eine Lösung hat. Das möchte ich mit dem Satz von
> Picard-Lindelöf auf einem Streifen und mit dem auf einem
> Rechteck machen.
>
> Konkret:
> Mit dem Satz von Picard-Lindelöf auf einem Streifen, dass
> das AWP y'=2x(1+y) , y(0)=0 auf [mm]\IR[/mm] genau eine
> Lösung hat.
>
> Mein Ansatz:
> I = [mm]\IR[/mm] G = [mm]I\times\IR[/mm] (mein Streifen)
> f=2x(1+y) , [mm]f:G\to\IR[/mm] stetig
> Jetzt geht es um die Lipschitz-Bedingung. Hier würde es
> ja reichen zu zeigen, dass [mm]f_{y}=2x[/mm] auf G (hier: [mm]\IR)[/mm]
> beschränkt ist.
>
> Hier ist mein Problem. Ich kann mir nicht vorstellen, ob
> [mm]f_{y}=2x[/mm] beschränkt ist und wenn ja, wieso. Das gleiche
> bei der Stetigkeit auf einem Rechteck.
>
> Gruß
Für (x,y) [mm] \in [/mm] G ist doch
[mm] 2(x_0-a) \le f_y(x,y) \le 2(x_0+a).
[/mm]
Damit ist [mm] f_y [/mm] auf G beschränkt
FRED
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Ich habe da immer noch Schwierigkeiten, das zu verstehen. f(x)=2x ist ja nicht beschränkt. Ich verstehe unter beschränkten Funktionen so etwas wie cos(x), der nur y-Werte im Bereich -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 annimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Di 15.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe da immer noch Schwierigkeiten, das zu verstehen.
> f(x)=2x ist ja nicht beschränkt. Ich verstehe unter
> beschränkten Funktionen so etwas wie cos(x), der nur
> y-Werte im Bereich -1 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1 annimmt.
Auf $ [mm] G=\{(x,y)\in \IR^{2} | x_{0}-a \le x \le x_{0}+a ; y_{0}-b \le y \le y_{0}+b \} [/mm] $
nimmt die Funktion [mm] f_y [/mm] nur Funktionswerte zwischen [mm] 2(x_{0}-a) [/mm] und [mm] 2(x_{0}+a) [/mm] an.
FRED
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