(Lipschitz)stetigkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Sei f(x,y) definiert durch
f(x,y) := [mm] \begin{cases} -2x, & \mbox{für } y \geq x^2 \\ -2x^{-1}y, & \mbox{für } |y| < x^2 \\ 2x, & \mbox{für} y \leq -x^2 \end{cases}
[/mm]
Man zeige, dass f überall stetig ist, jedoch in keiner Umgebung des Punktes (0,0) eine Lipschitzbedingung bezüglich y erfüllt. |
Hallo,
zuerst zur Lipschitzsetetigkeit. Ich muss also zeigen, dass |f(x,y) - f(x,0)| [mm] \leq [/mm] L |y-0| nicht gilt.
1.) y [mm] \geq x^2
[/mm]
|-2x + 2x| [mm] \leq [/mm] L |y|
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \leq [/mm] L |y|, Wiederspruch, da für die Lipschitzkonstante L>0 gilt.
2.) |y| < [mm] x^2
[/mm]
|-2 [mm] \frac{1}{x} \cdot [/mm] y - 0| [mm] \leq [/mm] L|y|
[mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \frac{1}{|x|} [/mm] |y| [mm] \leq [/mm] L|y|
aber 2 [mm] \frac{1}{|x|} \rightarrow \infty [/mm] für x [mm] \rightarrow [/mm] 0, ist also nicht beschränkt
3.) y [mm] \leq -x^2
[/mm]
|2x + 2x| [mm] \leq [/mm] L |y|
[mm] \gdw [/mm] 4|x| [mm] \leq [/mm] L |y|
aber 4 [mm] |\frac{x}{y}| \rightarrow \infty [/mm] für y [mm] \rightarrow [/mm] 0.
Hab ich somit die Lipschitzstetigkeit widerlegt?
Und wie kann ich die Stetigkeit am besten zeigen? Muss ich das auch für jeden Teilbereich zeigen, irgendwie find ich die Einschränkungen mit y [mm] \geq x^2 [/mm] etc. merkwürdig, warum definiert man das so?
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Sa 05.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zeichne dir die Gebiete mal auf, d.h. die 2 Parabeln. dann ist eben die fkt Gebietsweise definiert. So was kommt vor, und die parabeln sind eben relativ einfache gebietsgrenzen. Innerhalb der Gebiete ist die stetigkeit trivial, also musst du sie nur auf den 2 Grenzen und in (0,0) ansehen.
Bei (0,0) hast du falsch argumentiert.
denn natürlich ist -2x+2x=0<1*|y| mit L=1 kannst aber auch ein anderes L nehmen.
Nach deinem argument wäre die konstante fkt nicht Lipschitz stetig!
ABER, es muss ja für ne Ganze Umgebung etwa [mm] x^2+y^^
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Leduart,
danke für die Korrektur. Ich hab mir die Parabeln mal aufgezeichnet. Das ist ja einmal die nach oben und einmal die nach unten geöffnete Normalparabel. Wo liegt dann aber die mittlere Funktion für [mm] -y
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 So 06.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Das Gebiet oberhalb und aud der oberen Parabel,f= 2x, unterhalb und auf der unteren f=-2x, dazwischen f=y/x f(0,0)=0
in jedem noch so kleinen Kreis -also Umgebung von 0 liegen Punkte aus allen 3 Gebieten. in 1 und 3 kannst du Lipschitzstetig mit L beliebig gehen ( in 3 hattest du ein falsches vorzeichen) wenn der Punkt zwischen den Parabeln liegt gibt es keine Lipschitzkonst. der Teil war richtig,
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 06.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
also nochmal zu 1. und 3. muss ja y [mm] \geq x^2 [/mm] bzw y [mm] \leq -x^2 [/mm] gelten. Ist dann eigentlich nicht f(x,0)=0, da 0 [mm] \geq x^2 [/mm] geht ja nur, wenn x auch gleich Null ist? Dann hätte man ja die Bedingung 2|x| [mm] \leq [/mm] L |y|. Und du sagst in diesen Fällen 1. und 3. liegt Lipschitzstetigkeit vor? Ich versteh das nicht. D.h. nur weil in einer Umgebung von Null auch Pukte vom zweiten Fall liegen ist sie dort nicht lipschitzstetig?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mo 07.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh dich nicht ganz: für alle x,y [mm] \ne [/mm] 0 ist [mm] f(x)\ne0 [/mm] für x=y=0 ist f(0,0)=0
auf der Geraden y=0 ist die Funktion im 2.ten Gebiet ausser für x=0.
im ersten und 3.ten Gebiet ist [mm] y\ne0 [/mm] ausser für x=0. d.h. Punkte (x,0) liegen für [mm] x\ne0 [/mm] nicht in 1 oder 3. (dazu solltest du doch die Gebiete zeichnen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Leudart,
also um das mal zusammenzufassen, langt es um die Lipschitzstetigkeit in einer Umgebung von (0,0) zu widerlegen, zu zeigen, dass im 2.Bereich kein L existiert.
Es genügt den 2.Bereich zu betrachten, weil da auch Punkte von 1. und 3. drin sind ?
Die "normale" Stetigkeit muss ich an den Grenzen und in (0,0) betrachten, muss ich da das epsilon-delta Kriterium nehmen?
Also dass für [mm] |(x,y)-(x_0,y_0| \leq \delta [/mm] gilt |f(x,y) - [mm] f(x_0,y_0)| \leq \epsilon?
[/mm]
Viele Grüße,
Mathy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 07.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst doch zeigen, dass in keiner U von 0 die L Steigkeit gilt. in jeder U von 0 liegen pkte von 2. also nich L stetig!
Im 2. Bereich sind Keine Punkte vom 1. und 3. ten.
zum zweiten Teil ja. mit Erwähnung, dass es sonst ja einfach stet. Fkt. sind.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 08.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Leudart,
ok, dankeschön, das mit der Lipschitzstetigkeit hab ich nun (endlich) verstanden.
Zur Stetigkeit:
In (0,0):
|(x,y) - (0,0)| [mm] \leq [/mm] delta := ?
|f(x,y) - 0| = 2 [mm] \frac{|y|}{|x|} \leq [/mm] ...? Wie kann ich das nun weiter abschätzen?
Und wie kann ich die Stetigkeit in den Grenzen überprüfen... ??
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Di 08.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst die Bedingung für y verwenden um Abzuschätzen.
2. Du musst Punkte auf der Grenze nehmen also f(x,y) mit [mm] y=x^2 [/mm] einerseits f=2x, andererseits f=2y/x
es ist recht einfach. rechne mal nen Wert fast an der Grenze aus!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 08.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
also dann kann ich benutzen [mm] |y|
D.h. |f(x,y)| = 2 [mm] \frac{|y|}{|x|} [/mm] < 2 [mm] \frac{x^2}{|x|} [/mm] = 2 |x| ??
und wie kann ich solche Punkte finden damit?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Di 08.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
such in deinen gezeichneten Gebieten!
Gruss leduart
|
|
|
|
