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| Aufgabe | | Sei K [mm] \subset \IR [/mm] x [mm] \IR^{N} [/mm] kompakt und f: K [mm] \to \IR^{N}, [/mm] (t,x) [mm] \to [/mm] f(t,x) stetig. Z.Z.: Falls f einer lokalen Lipschitzbedingung bzgl. x genügt, so auch global auf ganz K. |
Hallo,
ich hab die Aufgabe versucht, zu beweisen, weiß aber nicht, ob das was ich gemacht habe, richtig ist. Ich hoffe, es kann sich jemand anschauen, was ich gemacht habe und mir mitteilen, was falsch ist, wenn ich es nicht richtig gemacht habe.
Ich hab folgendes gemacht:
Sei [mm] (\alpha, \lambda) \in [/mm] K.
Für ein kleines [mm] \epsilon [/mm] > 0 wähle eine Umgebung Q := { (t,x) [mm] \in \IR [/mm] x [mm] \IR^{N} [/mm] | | t - [mm] \alpha [/mm] | [mm] \le \epsilon, [/mm] | x - [mm] \lambda [/mm] | [mm] \le \epsilon} \subset [/mm] K.
f erfüllt auf Q eine lokale Lipschitzbedingung bzgl. x, d.h. f ist auf Q Lipschitzstetig für eine Lipschitzkonstante L.
Nach Voraussetzung kann [mm] \epsilon [/mm] > 0 so klein gewählt werden, dass auf Q eine globale Lipschitzbedingung gilt:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR^{N}, [/mm] t [mm] \in \IR, [/mm] (t,x), (t,y) [mm] \in [/mm] K: |f(t,x) - f(t,y)| [mm] \le [/mm] L | x-y|
Da K kompakt ist, hat K eine endliche Teilüberdeckung.
Also hab ich Q genommen, und K damit "ausgeschöpft", also ich praktisch eine endliche Überdeckung mit Q.
Und dann hab ich gesagt, weil die globale Lipschitzbedingung auf jedem Q gilt, gilt sie auch auf ganz K, weil K von Q endlich überdeckt wird.
Ich weiß nicht, ob das stimmt. Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen und mich verbessern, wenn ich es falsch gemacht habe.
Ich weiß nicht, wie ich es sonst zeigen soll.
Viele Grüße,
wetterfrosch
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Hallo wetterfrosch,
Du hast also solch eine endliche Überdeckung mit [mm] Q_i [/mm] 's auf jedem der [mm] Q_i [/mm] gilt die lokale L-Bedingung mit einer Konstanten [mm] L_i. [/mm] -> Also nimmst Du das größte der [mm] L_i [/mm] und hast eine globale L-Bedingung.
viele Grüße
mathemaduenn
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