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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 So 01.11.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\frac{ax-1}{1-a^2}, [/mm] |a|<1 |
Hallo.
Ich soll untersuchen, ob die obige Funktion Lipschitz-stetig ist.
Ich komme zu folgendem Schluss:
[mm] |f(x_1)-f(x_2)|=|\frac{a}{1-a^2}||x_1-x_2|
[/mm]
Der Faktor [mm] |\frac{a}{1-a^2}| [/mm] ist nicht beschränkt, weil er für |a| [mm] \to [/mm] 1 gegen unendlich geht. Also ist f nicht lipschitz-stetig.
Stimmt das so?
grüße moerni
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Hiho,
> Der Faktor [mm]|\frac{a}{1-a^2}|[/mm] ist nicht beschränkt, weil
> er für |a| [mm]\to[/mm] 1 gegen unendlich geht. Also ist f nicht
> lipschitz-stetig.
> Stimmt das so?
nein.
Die Funktion hängt nur von x ab, d.h. a ist beliebig, aber FEST.
Somit siehst du sofort, dass deine Funktion für jedes a Lipschitz-stetig ist, mit Lipschitz-Konstante [mm] $L=|\frac{a}{1-a^2}| [/mm] $
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 01.11.2009 | | Autor: | moerni |
aha, ja danke, das klingt logisch.
Bei meiner Aufgabe ging es eigentlich um eine Funktion:
[mm] f(x,y(x))=\frac{xy(x)-1}{1-x^2} [/mm] und ich soll untersuchen, ob die Funktion in y Lipschitzstetig ist. Das ist ja dann, falls [mm] \exists [/mm] L>0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall y_1,y_2: |f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x))| \le L|y_1(x)-y_2(x)|. [/mm] dann kommt man auf folgendes:
[mm] |f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x))|=|\frac{x}{1-x^2}||y_1(x)-y_2(x)|
[/mm]
Kann man hier dann auch sagen, dass f für jedes beliebige aber feste x Lipschitzstetig ist?
grüße, moerni
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Hiho,
nein, das geht da natürlich nicht so einfach.......
Da musst du überlegen, ob der Bruch sich abschätzen lässt, oder eben nicht, was würdest du sagen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 01.11.2009 | | Autor: | moerni |
Ich würde sagen, dass der Bruch für x [mm] \to [/mm] 1 gegen unendlich geht und damit lässt sich der Bruch nicht abschätzen.
dann wäre f also nicht lipschitzstetig. stimmt das?
grüße, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast also die Funktion
$ [mm] f(x,y)=\frac{xy-1}{1-x^2} [/mm] $
Auf welchem Definitionsbereich [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] diese Funktion erklärt ist, hast Du uns bisher verschwiegen !
Ohne diese Information lässt sich deine Frage nicht beantworten
FRED
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