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| Aufgabe | Im Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] sind folgende Vektoren gegeben:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 3}, \vec{b_{t}} [/mm] = [mm] \vektor{1-t \\ 2 \\ 1}, \vec{c_{t}} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ -2 \\ t} [/mm] für r [mm] \in \IR.
[/mm]
a) Ermittle diejenigen Werte von t, für welche die drei Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b_{t}}, \vec{c_{t}} [/mm] linear abhängig sind.
Zeige, daß die beiden Vektoren [mm] \vec{b_{t}} [/mm] und [mm] \vec{c_{t}} [/mm] für alle Werte von t linear unabhängig sind.
b) Bestimme die Dimension des von [mm] \vec{a}, \vec{b}_{-3}, \vec{c}_{-3} [/mm] erzeugten Vektorraums U.
Gib eine Basis für U an.
Untersuche ob der Vektor [mm] \vec{v}=\vektor{4 \\ 0 \\ 2} [/mm] in U liegt. |
Hallo,
Mit der Aufgabe a ist es noch nicht so schlimm, aber in sachen Basis und Dimension bin ich ein Neuling und kann das System, wie und wozu man das macht, fast überhaupt nicht begreifen.
Bei der Variante a habe ich jedoch auch Schwierigkeiten. Ich bilde zuerst aus den drei Vektoren ein Gleichungsytem:
2 = r(1-t) + 8s
4 = 2r - 2s
3 = r + ts
Dann bekomme ich aber [mm] t=\bruch{3}{7}. [/mm] Das stimmt doch nicht, oder?
Wie soll man zeigen, dass die Vektoren [mm] \vec{b_{t}} [/mm] und [mm] \vec{c_{t}} [/mm] für alle Werte von t linear unabhängig sind, habe ich auch keine Ahnung.
Genau so mit der bestimmung der Dimension und der Basis.
Wenn jemand mir irgendwie unkompliziert erklären oder Hinweise geben könnte, wie man das alles macht + wie man die letzte Aufgabe (ob der Vektor in U liegt) löst, wäre ich recht herzlich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
Emilis (Tevulytis)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Di 07.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Emilis
> Im Vektorraum [mm]\IR^3[/mm] sind folgende Vektoren gegeben:
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ 3}, \vec{b_{t}}[/mm] = [mm]\vektor{1-t \\ 2 \\ 2}, \vec{c_{t}}[/mm]
> = [mm]\vektor{8 \\ -2 \\ t}[/mm] für r [mm]\in \IR.[/mm]
>
> a) Ermittle diejenigen Werte von t, für welche die drei
> Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b_{t}}, \vec{c_{t}}[/mm] linear abhängig
> sind.
>
> Zeige, daß die beiden Vektoren [mm]\vec{b_{t}}[/mm] und [mm]\vec{c_{t}}[/mm]
> für alle Werte von t linear unabhängig sind.
>
> b) Bestimme die Dimension des von [mm]\vec{a}, \vec{b}_{-3}, \vec{c}_{-3}[/mm]
> erzeugten Vektorraums U.
> Gib eine Basis für U an.
>
> Untersuche ob der Vektor [mm]\vec{v}=\vektor{4 \\ 0 \\ 2}[/mm] in U
> liegt.
> Hallo,
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> Mit der Aufgabe a ist es noch nicht so schlimm, aber in
> sachen Basis und Dimension bin ich ein Neuling und kann das
> System, wie und wozu man das macht, fast überhaupt nicht
> begreifen.
>
> Bei der Variante a habe ich jedoch auch Schwierigkeiten.
> Ich bilde zuerst aus den drei Vektoren ein Gleichungsytem:
>
> 2 = r(1-t) + 8s
> 4 = 2r - 2s
> 3 = r + rt
>
> Dann bekomme ich aber [mm]t=\bruch{3}{7}.[/mm] Das stimmt doch
> nicht, oder?
setz doch zur Probe ein, dann siehst du dass es nicht stimmt!!
Eigentlich musst du zeigen, dass [mm] r1*\vec{a_{t}} +r2*\vec{b_{t}}*r3*\vec{c_{t}} [/mm] =0 nur trivial lösbar ist, d.h. für r1=r2=r3=0.
Die Bed. dafür ist dass die Determinante des Gl.systems 0 ist.
Die kannst du einfach hinschreiben, oder durch das Gaussverfahren rauskriegen.
In deiner Version hast du durch r1 dividiert, das geht, wenn dus richtig löst.
Wenn die 3 zu den Werten von t gehört, so dass die vektoren abh, sind, dann ist die Dim(U)=2 da ja b und c lin unabh. , die bilden dann auch ne Basis von U.(Je zwei lin unabh Vektoren in einem 2d Vektorraum bilden ne Basis. (alle anderen in dem Raum kann man durch Linearkombination der 2 herstellen!
Wenn t=3 nicht zu den Werten gehört, so dass die 3 abh. sind, dann ist U 3d also U=V und die 3 gegebenen Vektoren mit t=3 wären ne Basis. Indem Fall kann man v auf jeden Fall durch eine Linearkombination der 3 darstellen
> Wie soll man zeigen, dass die Vektoren [mm]\vec{b_{t}}[/mm] und
> [mm]\vec{c_{t}}[/mm] für alle Werte von t linear unabhängig sind,
wenn2 Vektoren abhängig sind, dann sind sie proportional, d.h. [mm] r*\vec{b_{t}}=\vec{c_{t}} [/mm] allgemeiner wieder [mm] r1*\vec{b_{t}}+r2*\vec{c_{t}}=0 [/mm] nur für r1=r2=0, aber das vereinfacht sich hier auf die erste Gl.
> habe ich auch keine Ahnung.
> Genau so mit der bestimmung der Dimension und der Basis.
Die Dimension ist die Maximalzahl der lin. unabhängigen Vektoren!
> Wenn jemand mir irgendwie unkompliziert erklären oder
> Hinweise geben könnte, wie man das alles macht + wie man
> die letzte Aufgabe (ob der Vektor in U liegt) löst, wäre
> ich recht herzlich dankbar.
Gruss leduart
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Hallo,
Ich will mich bei leduart entschuldigen, da ich einen Fehler beim Abschreiben dieser Aufgabe gemacht habe. Da steht beim Vektor
[mm] \vec{b_{t}} [/mm] = [mm] \vektor{1-t \\ 2 \\ 2} [/mm] nicht [mm] b_3=2 [/mm] , sonder [mm] b_3=1!
[/mm]
Also: [mm] \vec{b_{t}} [/mm] = [mm] \vektor{1-t \\ 2 \\ 1}.
[/mm]
Ich habe deine wertvolle Zeit verschwendet, also entschuldige noch mal.
Hm, das ist alles so ziemlich neu für mich. Ist schwer zu verstehen.
Also, die Bedingung, dass D = 0 ist, gibt dann eine quadratische Gleichung, wo man t ausrechnen soll:
[mm] D = \vmat{ 2 & 1-t & 8 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & t } = -4t^{2} + 2t + 90 = 0 [/mm] ???
Aber das kann doch nicht sein, weil [mm] t_1=4.5 [/mm] und [mm] t_2=5 [/mm] rauskommt...
Oder bin ich hier überhaupt aufs falsche Land gelandet?
Sehr geehrte leduart hat geschrieben: Wenn die 3 zu den Werten von t gehört, so dass die vektoren abh, sind, dann ist die Dim(U)=2 da ja b und c lin unabh. , die bilden dann auch ne Basis von U.
Woher kommt "die 3" ? Wenn "die 3" der Wert von t ist, sind dann die Vektoren linear abhängig? Nach meiner Rechnung nicht (sowohl mit meinem Fehler, als auch ohne)...
Das kann man erkennen, dass die Vektoren [mm] \vec{b}_t [/mm] und [mm] \vec{c}_t [/mm] für alle beliebige Zahlen linear unabhängig sind. Ich verstehe auch, dass unabhängige Vektoren die Basis eines Vektors bilden können. Die Dimension verstehe ich jetzt ungefähr auch schon.
Aber wie soll man erkennen, dass man z.B. [mm] r1*\vec{a_{t}} +r2*\vec{b_{t}}*r3*\vec{c_{t}} [/mm] =0 aufstellen muss und dadurch triviale Lösbarkeit (?) zeigen soll. Wie komm ich denn auf t?
Das ist eine Abiaufgabe und ich möchte wissen, wie geht man genau vor. Wie soll man im Abitur die ganze Rechnung so einer Aufgabe am besten schreiben?
Ich verstehe, dass meine Forderungen groß sind. Aber, wie man sieht, bin ich noch auf ziemlich niedrigem Niveau in Mathe. Ich bin aber entschlossen mich fürs Abi (LK in Hessen) in 8 (nein, schon in 7!) Wochen gut vorzubereiten (zu spät... aber trotzdem).
Bin recht herzlich dankbar.
Viele Grüße
Emilis (Tevulytis)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Do 09.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Emilis
> Hallo,
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> Ich will mich bei leduart entschuldigen, da ich einen
> Fehler beim Abschreiben dieser Aufgabe gemacht habe. Da
> steht beim Vektor
> [mm]\vec{b_{t}}[/mm] = [mm]\vektor{1-t \\ 2 \\ 2}[/mm] nicht [mm]b_3=2[/mm] , sonder
> [mm]b_3=1![/mm]
> Also: [mm]\vec{b_{t}}[/mm] = [mm]\vektor{1-t \\ 2 \\ 1}.[/mm]
> Ich habe
> deine wertvolle Zeit verschwendet, also entschuldige noch
> mal.
Gern
> Hm, das ist alles so ziemlich neu für mich. Ist schwer zu
> verstehen.
> Also, die Bedingung, dass D = 0 ist, gibt dann eine
> quadratische Gleichung, wo man t ausrechnen soll:
>
> [mm]D = \vmat{ 2 & 1-t & 8 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & t } = -4t^{2} + 2t + 90 = 0[/mm]
auch aus dieser Det krieg ich ein anderes Polynom, aber die letzte Zahl in der 2. Zeile sollte nicht +2 sondern -2 sein!
dann komm ich auf [mm] 4t^2+6t-18=0 [/mm] mit den Lösungen t1=1,5 und t2 =-3
für diese beiden Werte von t sind also die Vektoren a,b,c abhängig, für alle anderen Werte von t sind sie unabhängig.
> Aber das kann doch nicht sein, weil [mm]t_1=4.5[/mm] und [mm]t_2=5[/mm]
> rauskommt...
Wieso weisst du, dass das falsch ist? (es ist falsch, weil du die Det. falsch ausgerechnet hast.
> Sehr geehrte leduart hat geschrieben: Wenn die 3 zu den
Bitte lass das sehr geehrte weg! wir duzen uns hier !
Da hab ich das - vor dem 3 übersehen.
> Werten von t gehört, so dass die vektoren abh, sind, dann
> ist die Dim(U)=2 da ja b und c lin unabh. , die bilden dann
> auch ne Basis von U.
>
> Woher kommt "die 3" ? Wenn "die 3" der Wert von t ist, sind
> dann die Vektoren linear abhängig? Nach meiner Rechnung
> nicht (sowohl mit meinem Fehler, als auch ohne)...
Da stand ja ein "wenn" davor!
> Das kann man erkennen, dass die Vektoren [mm]\vec{b}_t[/mm] und
> [mm]\vec{c}_t[/mm] für alle beliebige Zahlen linear unabhängig sind.
> Ich verstehe auch, dass unabhängige Vektoren die Basis
> eines Vektors bilden können. Die Dimension verstehe ich
> jetzt ungefähr auch schon.
Die Basis eines Vektors gibt es nicht, nur die Basis eines Vektorraums!
z.Bsp. ist der normale [mm] \IR^{3} [/mm] ein Vektorraum, ddre beliebige Vektoren die nicht in einer Ebene liegen, sind dann eine mögliche Basis. Sehr oft verwendet man allerdings auch eine "Standardbasis", die ist dann:
[mm] \vektor{1\\ 0\\0} \vektor{0 \\ 1\\0} \vektor{0 \\ 0\\1}
[/mm]
> Aber wie soll man erkennen, dass man z.B. [mm]r1*\vec{a_{t}} +r2*\vec{b_{t}}*r3*\vec{c_{t}}[/mm]
> =0 aufstellen muss und dadurch triviale Lösbarkeit (?)
> zeigen soll. Wie komm ich denn auf t?
"trivial" heisst hier nur wenn r1=r2=r3=0 ist.
Die Gleichung ist nichts anderes als das Gleichungssystem, das zu deiner Det. gehört, also:
2r1+(1-t)*r2+8*r3=0
4r1+ 2*r2 -2*r3=0
3r1+ r2+t*r3=0
> Das ist eine Abiaufgabe und ich möchte wissen, wie geht man
> genau vor. Wie soll man im Abitur die ganze Rechnung so
> einer Aufgabe am besten schreiben?
Also erst mal die allgemeine Formulierung mit den Vektoren, dann das Gleichungssystem wie hier.
Dann gibt es die 2 Wege a) Det. bestimmen, und daraus feststellen ob es Lösungen des Systems gibt. aus Det. =0 die möglichen t Werte bestimmen.
b) das Gl.syst. "lösen" (mit Gauss verfahren) und dann fesstellen, für welche t es Lösungen (ausser alle r=0) hat.
2. zeigen, dass b,c lin unabhängig: einfach zeigen,dass sie nicht proportional sind.
3. t=-3 in di vektoren b,c einsetzen.Aus dem ersten Teil der Aufgabe entnehmen, dass die 3 dann lin abhängig sind, b und c aber lin. unabhängig.
Dann kann man b und c als Basis angeben.
Die Dimension ist die maximale Anzahl der linear unabh. Vektoren, hier also 2.
Nur wenn man den Aufgabenteil a nicht geschafft hat, müsste man in b) erst zeigen, dass die Vektoren mit t=-3 linear abh. sind. (das wird im Abi so gemacht, damit man noch ne Chance hat, auch wenn man a) mit dem allgemeinen Teil t nicht geschafft hat. Wenn du im Abi also in a) dein falsches Ergebnis hättest, oder nicht sicher wärst, würd ich noch mal überprüfen.
Letzter Teil. untersuchen, ob v in dem Raum U liegt, dessen Basis ja jetzt [mm] b_{-3} [/mm] und [mm] c_{-3} [/mm] sind. also gibt es Zahlen r1 und r2, so dass :
r1* [mm] \vektor{4 \\ 2\\1}+ r2*\vektor{8 \\ -2\\-3}= \vektor{4 \\ 0\\2}
[/mm]
Dazu könnte man natürlich auch ne bessere Basis für U verwenden , z.Bsp ist bei t=-3 u1=b+c, u2 =2*b-c ne schönere Basis (zu faul um alles als Vektorn zu schreiben.
Weiter gute Fortschritte bei der Vorbereitung, viele Lehrer sind auch bereit, dir mal Aufgaben, die du zur Übung genau aufschreibst nachzusehen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Do 09.02.2006 | | Autor: | Tevulytis |
Hallo,
Also, jetzt verstehe ich schon viel viel mehr. Danke für die ausführliche Erklärung. Muss jetzt noch üben.
Und "sehr geehrte..." schreibe ich, weil ich einen großen Respekt vor diejenigen fühle, die so viel Geduld haben, immer wieder alles den Newbies zu erklären.
Aber, wenn weglassen, dann weglassen...
Nochmal vielen Dank
Viele Grüße
Emilis (Tevulytis)
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