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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Lösbarkeit und die Eindeutigkeit der Lösungen. Finden Sie alle Lösungen und zeichnen Sie die Lösungskurven für die verschiedenen Anfangswerte
y'(x)= exp(y(x))*sin(x) , [mm] y(x_0)=y_0 [/mm] |
Hallo,
ich bearbeite grade folgende aufgabe und ich hab noch ziemliche schwierigkeiten bei solchen aufgaben.
wollte das jetzt mit dem Satz von Picard-Lindelöf zeigen.
also meine voraussetzungen für die lösbarkeit und eindeutigkeit sind, dass f auf dem Gebiet stetig ist und dass f die Lipschitz-Bedingung auf dem Gebiet erfällt
in dem fall wäre mein f(x,y)= exp(y(x))*sin(x)
ich hab jetzt gesagt, dass f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] stetig ist, da sowohl exp(y(x)) auf ganz [mm] \IR [/mm] und auch sin(x) auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist, also ist auch das produkt auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert.
dann wollte ich die lipschitz-bedinung überprüfen und hier muss gelten:
|f(x,y)-f(x,z)| [mm] \le [/mm] L |y-z|
-> |exp(y)*sin(x) -exp(z)*sin(x)| = |sin(x)* [exp(y)-exp(z)]| = |sin(x)| * |(exp(y)-exp(z))|
jetzt wissen wir ja |sin(x)| [mm] \le [/mm] 1
also folgt dann:
[mm] \le [/mm] |exp(y)-exp(z)|
so und nun weiß ich nicht mehr weiter....muss ich das jetzt schon [mm] \le [/mm] L| y- z| setzen und dann ein L bestimmen oder wie kann ich hier weitermachen?
könnte mir jemand einen tipp geben?
danke..
gruß,
keksschen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Fr 12.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen Sie die Lösbarkeit und die Eindeutigkeit der
> Lösungen. Finden Sie alle Lösungen und zeichnen Sie die
> Lösungskurven für die verschiedenen Anfangswerte
>
> y'(x)= exp(y(x))*sin(x) , [mm]y(x_0)=y_0[/mm]
> Hallo,
>
> ich bearbeite grade folgende aufgabe und ich hab noch
> ziemliche schwierigkeiten bei solchen aufgaben.
>
> wollte das jetzt mit dem Satz von Picard-Lindelöf zeigen.
> also meine voraussetzungen für die lösbarkeit und
> eindeutigkeit sind, dass f auf dem Gebiet stetig ist und
> dass f die Lipschitz-Bedingung auf dem Gebiet erfällt
>
> in dem fall wäre mein f(x,y)= exp(y(x))*sin(x)
> ich hab jetzt gesagt, dass f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm] stetig ist, da
> sowohl exp(y(x)) auf ganz [mm]\IR[/mm] und auch sin(x) auf ganz [mm]\IR[/mm]
> definiert ist, also ist auch das produkt auf ganz [mm]\IR[/mm]
> definiert.
>
> dann wollte ich die lipschitz-bedinung überprüfen und
> hier muss gelten:
> |f(x,y)-f(x,z)| [mm]\le[/mm] L |y-z|
> -> |exp(y)*sin(x) -exp(z)*sin(x)| = |sin(x)*
> [exp(y)-exp(z)]| = |sin(x)| * |(exp(y)-exp(z))|
> jetzt wissen wir ja |sin(x)| [mm]\le[/mm] 1
> also folgt dann:
> [mm]\le[/mm] |exp(y)-exp(z)|
>
> so und nun weiß ich nicht mehr weiter....muss ich das
> jetzt schon [mm]\le[/mm] L| y- z| setzen und dann ein L bestimmen
> oder wie kann ich hier weitermachen?
>
> könnte mir jemand einen tipp geben?
Tipp: klammere [mm] $e^y$ [/mm] aus und schätze den verbleibenden Rest über die Ungleichung
[mm] e^x \ge 1+x [/mm]
ab.
Viele Grüße
Rainer
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danke für den tipp, aber mir ist noch nicht ganz klar wie das mit dem ausklammern gemeint ist... hab das jetzt einfach mal so gemacht wie ich das verstanden hab :
[mm] \le [/mm] |exp(y) -exp(z)|
[mm] \le [/mm] |exp(y)| + |-exp(z)|
und dieses exp(y) soll jetzt [mm] \ge [/mm] 1+y
[mm] \le [/mm] |1+y| + |-exp(z)|
hab dazu jetzt folgende fragen:
ist das überhaupt richtig? wenn ja kann ich das dann auch für exp(z) so abschätzen? muss das - in || stehen oder außerhalb?
danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:00 Sa 13.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke für den tipp, aber mir ist noch nicht ganz klar wie
> das mit dem ausklammern gemeint ist... hab das jetzt
> einfach mal so gemacht wie ich das verstanden hab :
>
> [mm]\le[/mm] |exp(y) -exp(z)|
> [mm]\le[/mm] |exp(y)| + |-exp(z)|
> und dieses exp(y) soll jetzt [mm]\ge[/mm] 1+y
> [mm]\le[/mm] |1+y| + |-exp(z)|
>
> hab dazu jetzt folgende fragen:
> ist das überhaupt richtig? wenn ja kann ich das dann auch
> für exp(z) so abschätzen? muss das - in || stehen oder
> außerhalb?
Nein, ich meine das so:
[mm] |e^y-e^z| = e^y | 1- e^{z-y}| [/mm], da [mm] $e^y [/mm] > 0$.
Und aus [mm] $e^x \ge [/mm] 1+x$ folgt $ [mm] 1-e^x \le [/mm] -x$ für alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Für [mm] $x\le [/mm] 0$ sind beide Seiten der Gleichung [mm] $\ge [/mm] 0$, also ist [mm] $|1-e^x|\le [/mm] |x|$ für [mm] $x\le [/mm] 0$.
Für [mm] $z\le [/mm] y$ ist daher
[mm] |e^y-e^z| = e^y | 1- e^{z-y}| \le e^y |z-y| [/mm] .
Für [mm] $z\ge [/mm] y$ gilt analog:
[mm] |e^y-e^z| \le e^z |y-z| [/mm] ,
und für $y=z$ sind sowieso alle Differenzen gleich 0.
Zusammengefasst: [mm] |e^y-e^z| \le \exp(\max\{y,z\}) |y-z| [/mm] .
Jetzt musst du dir nur noch überlegen, unter welcher Bedingung du [mm] $\exp(\max\{y,z\})$ [/mm] durch eine Konstante nach oben abschätzen kannst.
Viele Grüße
Rainer
Viele Grüße
Rainer
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danke für die antwort...
heißt das, dass ich das ganz jetzt nur noch auf ein Gebiet eingrenzen muss damit [mm] \exp(\max\{y,z\}) [/mm] durch eine konstante L ersetzt bzw abgeschätzt werden kann und somit auf diesem gebiet lipschitz-stetig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion $f(x,y) =e^ysin(x)$ genügt auf dem [mm] \IR^2 [/mm] einer lokalen Lipschitzbedingung bezüglich y.
Sagt Dir das was ?
FRED
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