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| Aufgabe | [mm] \underline{A} \in \IR^{m \times n} [/mm] sei eine Matrix mit Spaltenvektoren [mm] \underline{a}_{1}, ...,\underline{a}_{n}. [/mm] Betrachen Sie das LGS [mm] \underline{A}\underline{x}=2\underline{a}_{1}+\underline{a}_{2}
[/mm]
Welcher der Fälle "nicht lösbar", "lösbar", "eindeutig lösbar" kann auftreten? (Begründung!) |
Hallo allerseits,
hab mal wieder ein Problem. Die ganze Sache mit der Lösbarkeit von LGS ist wohl etwas an mir vorbeigegangen bzw. leuchtet mir bisher nicht ein.
Hier mal mein "Wissen" zu dem Thema:
Sei A eine (m,n)-Matrix und b ein Element aus Km. Dann gilt:
1) Lösbarkeit: Das LGS Ax=b ist lösbar, wenn Rang A = Rang A|b gilt. Das ist so, weil b dann im Erzeugnis der Spalten liegt und als Linearkombination dargestellt werden kann.
2) Eindeutige Lösbarkeit: Das LGS Ax=b ist eindeutig lösbar, wenn Rang A = Rang A|b = n.
Denn, wenn Rang A = n ist sind die Spalten linear unabhängig und jeder Vektor aus ihrem Erzeugnis besitzt damit eine eindeutige Darstellung. als Linearkombination.
3) universelle Lösbarkeit: Das LGS Ax=b ist für jedes beliebige b aus [mm] K^m [/mm] lösbar, wenn Rang A = m gilt. Denn ist der Rang A = m, dann findet man m linear unabhängige Spaltenvektoren, die somit den ganzen [mm] K^m [/mm] aufspannen, und folglich ist jedes b aus [mm] K^m [/mm] als Linearkombination der Spalten darstellbar.
4) universelle und eindeutige Lösbarkeit: Das LGS Ax=b ist für jeden beliebigen Vektor b eindeutig lösbar, wenn n=m und A invertierbar ist. Das ist so, weil 2) und 3) erfüllt sein muss, und daraus folgt auch die Invertierbarkeit der Matrix, da der Rang maximal ist.
Das LGS ist inhomogen. So, das einzige was ich an der Aufgabe sehe ist, dass [mm] \underline{a}_{1} [/mm] und [mm] \underline{a}_{2} [/mm] in beiden Seiten des LGS vorkommen, d.h. da besteht eine lineare Abhängigkeit. Der Rang der rechten Seite ist 2, wegen dieser Vektoren?
Mir fehlt der Zusammenhang bzw. die Anschauung oder Kombinationsgabe dafür.
Vielleicht kann sich jemand hier im Forum erbarmen und mir das ganze etwas erläutern.
MfG
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
1. Für [mm] \underline{x}:= \vektor{1 \\ 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0} [/mm] berechne [mm] \underline{A}\underline{x}
[/mm]
2. Für [mm] \underline{x}:= \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0} [/mm] berechne [mm] \underline{A}\underline{x}
[/mm]
3. Mit 1. und 2. solltest Du sehen, dass das LGS $ [mm] \underline{A}\underline{x}=2\underline{a}_{1}+\underline{a}_{2} [/mm] $ eine Lösung [mm] \underline{x_0}\ne \underline{0} [/mm] besitzt. Welche ?
Lösbar ist das LGS also schon mal.
4. Eindeutig lösbar wird das LGS im allgemeinen nicht sein. Stell Dir vor es ist [mm] \underline{a_1}= \underline{a_2}= \underline{0}.
[/mm]
Kannst Du eine Lösung [mm] \underline{x_1} \ne \underline{x_0} [/mm] angeben ?
FRED
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Hallo FRED,
tut mir leid, aber mit deinen Hinweisen kann ich so noch nichts anfangen.
1. [mm] \underline{A} \vektor{1 \\ 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0} [/mm] = [mm] \underline{a}_{1}
[/mm]
2. [mm] \underline{A} \vektor{0 \\ 1 \\ . \\ . \\ . \\ 0} [/mm] = [mm] \underline{a}_{2}
[/mm]
Tja, aber was fange ich damit an?
Sorry mir leid wenn ich mich dumm anstelle.
MfG
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich lasse mal die doofen Unterstriche weg.
Setze [mm] z_1:= \vektor{1 \\ 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0} [/mm] und [mm] z_2:= \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0}
[/mm]
Dann gilt doch
[mm] $A(2z_1+z_2) [/mm] = [mm] 2a_1+a_2$
[/mm]
Somit ist [mm] x_0:=2z_1+z_2 [/mm] eine Lösung des LGS, oder nicht
FRED
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Hallo FRED,
das leuchtet mir ein, d.h ich sehe jetzt, dass [mm] x_{0} [/mm] eine Lösung ist. Was ist aber [mm] x_{1}?
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn $ [mm] \underline{a_1}= \underline{a_2}= \underline{0}, [/mm] $ so liegt ein homogenes LGS vor, das hat immer die triviale Lösung [mm] x_1=0
[/mm]
FRED
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Auf diesem Auge bin ich wohl blind. Woran sehe ich denn, dass [mm] a_{1}=a_{2}=0 [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Auf diesem Auge bin ich wohl blind. Woran sehe ich denn,
> dass [mm]a_{1}=a_{2}=0[/mm] ist?
Oh Mann, natürlich muß nicht [mm]a_{1}=a_{2}=0[/mm] sein.
Du soltest lesen , was man Dir schreibt !
Es geht darum, ob man garatieren kan, dass das LGS eindeutig lösbar ist.
Garantieren kann mans nicht, denn ist z.b. [mm]a_{1}=a_{2}=0[/mm] , so gibt es mehr als eine Lösung
FRED
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