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Hallo zusammen,
ich habe eine Verständnisfrage zur Verknüfung von Lösbarkeit durch Radikale und Lösungsformel für Polynome Grad größer gleich 5.
In meinem Skript wird das Thema leider nur recht stiefmütterlich in den größeren Kontext eingeordnet. Was wir haben ist die Definition: $Gal(f,k) = Gal(K/k)$, wobei K Zerfällungskörper von f über k ist, sowie die allgemeine Definition, wann ein Polynom f durch Radikale lösbar ist (spezielle Kette von Körpererweiterungen).
Ich habe mir jetzt hergeleitet, dass die Lösbarkeit einer bestimmten Funktion durch Radikale äquivalent dazu ist, dass für dieses spezielle Polynom eine Lösungsformel existieren kann. Ist das richtig?
Dann haben wir den Satz, dass für char k = 0, f nicht konstant gilt:
f lösbar durch Radikale [mm] $\gdw$ [/mm] $Gal(f,k)$ auflösbar
und ich leite mir weiter her: $Gal(f,k) [mm] \subseteq S^n$, [/mm] wobei Grad f = n. Wir wissen durch Betrachtung der Kommutatoruntergruppe [mm] $A^n$ [/mm] von [mm] $S^n$, [/mm] dass für $n [mm] \ge [/mm] 5$ gilt: Die gesamte Gruppe [mm] $S^n$ [/mm] ist nicht auflösbar. Daraus folgt aber nicht automatisch, dass $Gal(f,k)$ als Untergruppe nicht auflösbar ist - es gibt ja schließlich auch Polynome 5. Grades, die auflösbar sind.
Warum also sind die obrigen Zusammenhänge trotzdem ein Beweis dafür, dass keine allgemeine Lösungsformel für Polynome 5. Grades existieren? Kann man an dieser Stelle schon allgemein erkennen, dass Polynome 5. Grades existieren müssen, die nicht auflösbar sind?
Oder weißt man über die Betrachtung der Galoisgruppe eines speziellen Polynomes einfach direkt nach, dass dieses Polynom nicht auflösbar ist und folgert daraus automatisch die allgemeine Aussage? (das könnte ich mir jetzt vorstellen, wurde bei uns nicht mehr gemacht)
Vielen Dank und viele Grüße
Skorpinus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 So 19.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ich habe eine Verständnisfrage zur Verknüfung von
> Lösbarkeit durch Radikale und Lösungsformel für Polynome
> Grad größer gleich 5.
> In meinem Skript wird das Thema leider nur recht
> stiefmütterlich in den größeren Kontext eingeordnet. Was
> wir haben ist die Definition: [mm]Gal(f,k) = Gal(K/k)[/mm], wobei K
> Zerfällungskörper von f über k ist, sowie die allgemeine
> Definition, wann ein Polynom f durch Radikale lösbar ist
> (spezielle Kette von Körpererweiterungen).
> Ich habe mir jetzt hergeleitet, dass die Lösbarkeit einer
> bestimmten Funktion durch Radikale äquivalent dazu ist,
> dass für dieses spezielle Polynom eine Lösungsformel
> existieren kann. Ist das richtig?
wenn mit Loesungsformel eine Formel in der Form eines iterierten Wurzelausdrucks gemeint ist (also ein Ausdruck, der nur mit den Operationen $+$, $-$, [mm] $\cdot$, [/mm] $/$, [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] auskommt), dann ist das richtig.
> Dann haben wir den Satz, dass für char k = 0, f nicht
> konstant gilt:
> f lösbar durch Radikale [mm]\gdw[/mm] [mm]Gal(f,k)[/mm] auflösbar
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und ich leite mir weiter her: [mm]Gal(f,k) \subseteq S^n[/mm], wobei
> Grad f = n. Wir wissen durch Betrachtung der
> Kommutatoruntergruppe [mm]A^n[/mm] von [mm]S^n[/mm], dass für [mm]n \ge 5[/mm] gilt:
> Die gesamte Gruppe [mm]S^n[/mm] ist nicht auflösbar. Daraus folgt
> aber nicht automatisch, dass [mm]Gal(f,k)[/mm] als Untergruppe nicht
> auflösbar ist - es gibt ja schließlich auch Polynome 5.
> Grades, die auflösbar sind.
Genau.
> Warum also sind die obrigen Zusammenhänge trotzdem ein
> Beweis dafür, dass keine allgemeine Lösungsformel für
> Polynome 5. Grades existieren? Kann man an dieser Stelle
> schon allgemein erkennen, dass Polynome 5. Grades
> existieren müssen, die nicht auflösbar sind?
Weil es zu jedem $n$ Polynome von Grad $n$ gibt, deren Galoisgruppe gleich [mm] $S_n$ [/mm] ist. Damit gibt es keine "allgemeine" Loesungsformel, die fuer alle Polynome von Grad $n$ funktioniert (fuer $n [mm] \ge [/mm] 5$).
> Oder weißt man über die Betrachtung der Galoisgruppe
> eines speziellen Polynomes einfach direkt nach, dass dieses
> Polynom nicht auflösbar ist und folgert daraus automatisch
> die allgemeine Aussage? (das könnte ich mir jetzt
> vorstellen, wurde bei uns nicht mehr gemacht)
Doch, im Prinzip schon. Man konstruiert so ein Polynom (mit Galoisgruppe [mm] $S_n$) [/mm] mit Hilfe von symmetrischen Funktionen: dieses ist dann von Grad $n$ und nicht aufloesbar.
Somit kann es fuer festes $n [mm] \ge [/mm] 5$ keine allgemeingueltige Formel geben (die nur von den Koeffizienten des Polynoms abhaengt), die das Polynom loest.
LG Felix
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