www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Lösbarkeit lineare Kongruenzen
Lösbarkeit lineare Kongruenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lösbarkeit lineare Kongruenzen: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Di 07.02.2017
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben ist eine Lineare Kongruenz
a * x [mm] \equiv [/mm] b (mod n)

Angeblich ist der ggT(a, n) gleich die maximale Anzahl von Lösungen für die lineare Kongruenz.

Hallo,

beim lösen einer beliebigen linearen Kongruenz haben wir gelernt, dass der ggT(a,n) gleichzeitig die Anzahl an Lösungen ist, die es für die lineare Kongruenz gibt.

Bei dem Beispiel 91 * x [mm] \equiv [/mm] 231 (mod 329) bekommt man für den ggT(91, 329) = 7 heraus und laut Vorlesung soll es dafür dann maximal 7 Lösungen geben, nämlich 17, 64, 111, 158, 205, 252 und 299.

Tatsächlich ist die lineare Kongruenz jedoch immer erfüllt, solange man immer 47 auf eines der Ergebnisse der Lösungen aufaddiert. Also z.B. 299 + 47 = 346. Und 91 * 346 [mm] \equiv [/mm] 231 (mod 329) ist erfüllt!

Wurde das falsch erklärt, oder hat der ggT(a,n) wirklich irgendeine Bedeutung?

        
Bezug
Lösbarkeit lineare Kongruenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Di 07.02.2017
Autor: abakus


> Gegeben ist eine Lineare Kongruenz
>  a * x [mm]\equiv[/mm] b (mod n)
>  
> Angeblich ist der ggT(a, n) gleich die maximale Anzahl von
> Lösungen für die lineare Kongruenz.
>  Hallo,
>  
> beim lösen einer beliebigen linearen Kongruenz haben wir
> gelernt, dass der ggT(a,n) gleichzeitig die Anzahl an
> Lösungen ist, die es für die lineare Kongruenz gibt.
>  
> Bei dem Beispiel 91 * x [mm]\equiv[/mm] 231 (mod 329) bekommt man
> für den ggT(91, 329) = 7 heraus und laut Vorlesung soll es
> dafür dann maximal 7 Lösungen geben, nämlich 17, 64,
> 111, 158, 205, 252 und 299.
>  
> Tatsächlich ist die lineare Kongruenz jedoch immer
> erfüllt, solange man immer 47 auf eines der Ergebnisse der
> Lösungen aufaddiert. Also z.B. 299 + 47 = 346. Und 91 *
> 346 [mm]\equiv[/mm] 231 (mod 329) ist erfüllt!
>  
> Wurde das falsch erklärt, oder hat der ggT(a,n) wirklich
> irgendeine Bedeutung?

Hallo,
selbstverständlich hat eine lineare Kongruenz (wenn sie denn Lösungen hat) unendlich viele Lösungen.
Wenn im Vorlesungsbeispiel von 7 Lösungen die Rede ist, dann sind damit wohl 7 mögliche Restklassen mod 329 gemeint.

Bezug
                
Bezug
Lösbarkeit lineare Kongruenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 Mi 08.02.2017
Autor: magics

Hallo abakus, leider verstehe ich das nicht - irgendwo mach ich einen Denkfehler. Das Modul 5 hat doch fünf verschiedene Restklassen, nämlich [mm] {\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}}. [/mm] 329 hätte damit 329 verschiedene Restklassen, also [mm] {\overline{0}, \overline{1}, ... , \overline{327}, \overline{328}}. [/mm] Woher also die 7?

Im folgenden rechne ich die Aufgabe nochmal vor - bis zu dem Punkt, an dem es bei mir aussetzt. Ich hoffe du kannst mir nochmal einen Hinweis dazu geben.

---
Zu lösen ist die lineare Kongruenz $91 * x [mm] \equiv [/mm] 231 (mod 329)$

(1) Euklidischer Algorithmus
$ 329 = 3 * 91 + 56 $
$ 91 = 1 * 56 + 35 $
$ 56 = 1 * 35 + 21 $
$ 35 = 1 * 21 + 14 $
$ 21 = 1 * 14 + 7 $
$ 14 = 2 * 7 + 0 $

Damit ist der $ggT(329, 91) = 7$. $231/7 = 33$, also ist ggT(a,n)|b erfüllt und die Gleichung ist lösbar. Gleichzeitig gibt der ggT von 7 an, dass es genau 7 Lösungen gibt.

(2) Erweiterten Euklidischen Algorithmus. Ich schreibe jetzt direkt das Endergebnis hin:

$7 = 5 * 329 - 18 * 91$

Wir teilen die Ausgangskongruenz $91 * x [mm] \equiv [/mm] 231 (mod 329)$ durch 7 und erhalten:

$13 * x [mm] \equiv [/mm] 33 (mod 47)$

(3) Nach x Auflösen. Wir suchen das Inverse von $13 (mod 47)$. Dazu wird jetzt sozusagen "ein Trick" angewendet. Wir teilen die obige Vielfachsummendarstellung $7 = 5 * 329 - 18 * 91$ durch 7 und kommen so auf die Form $1 = t*a + s*n$:

$1 = 5 * 47 - 18 * 13$

Wir erhalten: [mm] 13^{-1} \equiv [/mm] -18 [mm] \equiv [/mm] 29 (mod 47)

Das Inverse von 13, also die 29, setzen wir nun in die eben umgestellte Gleichung ein:

$x [mm] \equiv 13^{-1} [/mm] * 33 [mm] \equiv [/mm] 17 (mod 47)$

--- bis hier hin ist alles klar ---

Wie kommt man nun zu der Aussage, dass die 7 gesuchten Lösungen genau 17, 64, 111, 158, 205, 252, 299 sind?

liebe Grüße



Bezug
                        
Bezug
Lösbarkeit lineare Kongruenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Mi 08.02.2017
Autor: leduart

Hallo
deine 299+47 ist doch in der Restklasse 17. ,299+2*47 in der Restklasse 64 usw.
d.h. die Lösungen sind immer die kleinsten Repräsentanten der Restklasse oder in Zahlen, mit 17 ist auch 329+17 natürlich Lösung. aber 17=346mod 329
Gruß leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]