Löse das Anfangswertproblem < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Sebbl0r |
| Aufgabe | | y'=2y+x²e^(2x) ; y(0)=4 |
Hallo, bin ganz neu hier und hoffe Ich mach alles richtig :)
Also, Ich habe das oben gestellte Anfangswertproblem.
Der Ansatz erscheint noch recht einfach.
y(0) = 0
x(0) = 4
(Bin mir da bei y(0) nicht ganz sicher, da Ich bislang immer nur Aufgaben gesehn habe, wo y(1) o.ä. gegeben war.)
Dann Schritt 1:
y'=g(x)*h(y)
h(y) = 2y
g(x) = x²e^(2x)
Jetzt muss Ich ja die Stammfunktionen G(x) und H(y) bilden.
H(y) = y²
Aber wir komme Ich jetzt auf einen humanen weg auf G(x) ???
Laut einen Integral-Rechner müsste die Lösung:
G(x) = 1/4e^(2x)(2(x-1)x+1) sein, aber wie Ich da zufuss drauf kommen kann, ist mir leider noch nicht klar :S
Den Rest der Aufgabe, muesste Ich eig. alleine hinbekommen, aber beim "aufleiten" xD entschuldigt das Unwort ^^ hab Ich wirklich ernste Probleme :S
Vielen Dank fuer eure Hilfe :)
Lg. Seb
(Ich hoffe der Beitrag ist jetzt nicht noch bei Schulmathe - Analysis drin; bin als erstes da gelandet. Müsste mir aber noch vor dem Abschicken aufgefallen sein)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm] y'=2y+x^2*e^{2x} [/mm] ; y(0)=4
> Hallo, bin ganz neu hier und hoffe Ich mach alles richtig :)
Na, dann herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also, Ich habe das oben gestellte Anfangswertproblem.
> Der Ansatz erscheint noch recht einfach.
>
> y(0) = 0 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> x(0) = 4
In der Aufgabe steht doch ausdrücklich y(0)=4 , das heißt
für x=0 soll y=4 sein.
> (Bin mir da bei y(0) nicht ganz sicher, da Ich bislang
> immer nur Aufgaben gesehn habe, wo y(1) o.ä. gegeben
> war.)
>
> Dann Schritt 1:
>
> y'=g(x)*h(y)
Wir haben hier aber keine DGL, die sich in dieser Weise
schreiben lässt !
> h(y) = 2y
> g(x) = [mm] x^2*e^{2x}
[/mm]
Mit diesen Hilfsfunktionen notiert wäre die Form der DGL
y'=h(y)+g(x) , aber nicht y'=h(y)*g(x) !
> Den Rest der Aufgabe, muesste Ich eig. alleine hinbekommen,
> aber beim "aufleiten" xD entschuldigt das Unwort ^^ hab Ich
> wirklich ernste Probleme :S
Das richtige Wort dafür wäre "integrieren" oder "Stammfunktion
bestimmen".
Die vorliegende DGL ist eine lineare inhomogene DGL.
Um sie zu lösen, brauchst du
1.) die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL $\ y'-2*y=0$
2.) eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL $\ [mm] y'-2*y=x^2*e^{2x}$
[/mm]
Dann musst du diese beiden addieren, um die allg.
Lösung der inhomogenen DGL zu erhalten.
LG Al-Chw.
Bemerkung: benütze bitte für Quadrate wie [mm] x^2 [/mm] nicht die
entsprechende Taste von deiner Tastatur (das wird von Latex
ignoriert !), sondern die Schreibweise x^2 !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Sebbl0r |
Danke erstmal für die schnelle Hilfe :)
Und ab jetzt werde Ich nurnoch mit ^2 arbeiten :)
Leider sind noch ein paar fragen geblieben.
Ich versuch das mal an einer, "hoffentlich", richtig gelösten Aufgabe von mir zu zeigen.
y'=-x/y ; y(1)=1
aus y(1) = 1 weiß Ich : y(0) = 1 und x(0) =1
//bei y(2) = 3 waere: y(0) = 3 und x(0) = 2
//Auf den bislang einzigen weg den Ich kenne um das Anfangswertprob.
//zu lösen, brauch Ich diese Werte als Grenzen.
y'=g(x) + h(y)
g(x) = -x ; h(y) = +1/y
y' = -x * 1/y
G(x) = [mm] \integral_{x0}^{x}{g(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{(-t) dt}= -1/2x^2 [/mm] +1/2
H(y) = [mm] \integral_{y0}^{y}{h(s) ds}=\integral_{1}^{y}{(s) ds}=1/2y^2-1/2
[/mm]
//Anmerkung: vor dem zum schluss ausgerechneten Termen setze Ich die
//integrierten Terme von g(x) und h(y) ein.
//Und da kommt dann bei der eigendlichen Aufgabe die Stammfunktion
//von [mm] x^2*e^{2x} [/mm] rein. (Die Symbole für Grenzen, hab Ich leider nicht
//gefunden)
Hier setze Ich jetzt:
G(x) = H(y)
[mm] (1-x^2)/2 [/mm] = [mm] (y^2-1)/2
[/mm]
und komme nach umformen und Wurtzel-ziehen auf:
[mm] y=\wurzel{2-x}
[/mm]
Was die lösung des Anfangswert-Problems bei der aufgabe ist.
Ich fux mich mal erstmal n bischen in deinen Ansatz rein.
Aber ganz kurtz noch die frage : mit zum schluss addieren meintest du, dass Ich das y' durch addieren der beiden DGL herrausnehme oder?
Lg. Seb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 So 18.09.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
1. was du mit den anfangswerten schreibst ist einfach falsch. du suchst eine funktion y(x), du wiesst die Dgl und den wert bei einem festen x. in deinem beispiel bei x=1, d.h. y(1)=1
y(0) kennst du nicht, und da x die variable ist, macht x(0) keinen Sinn, denn x ist ja keine Funktion.
vielleicht denkst du besser f'(x)=-x/f(x) f(1)=1
was du dann gemacht hast ist reines "umformeln" offensichtlich ohne jedes Verstandnis.
du hast nicht h(s) integriert sondern 1/h(s)
offensichtlich hast du den sogenannten separationsansatz verwendet:
y'=-x(y
y'*y=-x
jetzt auf beiden seiten integriert
[mm]\integral{y'*y}=-\integral{x}[/mm]
folgt [mm] y^2+C1=x^2+C2
[/mm]
oder durch Zusammenfassen von C2-C1=C
folgt [mm] 0.5y^2=0.5x^2+C
[/mm]
anfangswert y(1)=1 eingesetzt
ergibt [mm] 1^2=0.5*1^2+C [/mm] folgt C=0.5
diese Methode kannst du bei deiner Dgl nicht anwenden, weil da nicht y'=h(x)*g(y) steht!
du hast eine andere art Dgl. nämlicht eine sogenannte lineare inhomogene DGL. linear, weil y,y' nur mit der potenz 1 vorkommen.
die methode diese zu lösen ist völlig anders!
y'=2y+x²e^(2x) ; y(0)=4
man löst erst die himogene y'-2y=0 oder y'=2y die lösung sollte man direkt sehen : [mm] y=C*e^{2x} [/mm] wenn dus nicht siehst leit ab! oder benutz deine Methode mit g(x)=2 h(y)=y
Wenn man das hat solltet ihr gelernt haben, wie man durch geschicktes Raten eine spezielle lösung der inhomogenen findet, die man zu der allgemeinen lösung der homogenen addiert, oder es gibt die methode der variation der Konstanten. das alle würde ne Vorlesungsstunde füllen.
ich kann mir nicht vorstellen, dass ihr diese aufgabe habt, ohne vorher was über lineare DGL in der Vorlesung (oder übung) besprochen zu haben.
Gruss leduart
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