Löse x^2+y^2=z^4 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 So 28.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Man Zeige: Die Gleichung
[mm] $x^2+y^2=z^4$
[/mm]
besitzt unendlich viele Lösungen [mm] $[x,y,z]\in\IN^{3}$. [/mm] |
Hallo an alle,
wie gehe ich am besten bei einer solchen Aufgabe vor? Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank und Gruß
Denny
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Hi, Denny,
also: Eigentlich musst Du nur eine einzige Lösung finden!
Ich nenn' die mal so:
x=a; y=b; z=c.
Es gilt also: [mm] a^{2}+b^{2} [/mm] = [mm] c^{4} [/mm] (***)
Dann sind nämlich auch alle Zahlen mit
[mm] x=k^{2}*a, y=k^{2}*b [/mm] und z=k*c Lösungen:
[mm] (k^{2}*a)^{2} [/mm] + [mm] (k^{2}*b)^{2} [/mm] = [mm] k^{4}*(a^{2}+b^{2}) [/mm] = [mm] (k*c)^{4}
[/mm]
(wegen (***).)
Du musst also "nur noch" EINE Lösung a, b, c finden.
Das geht vermutlich nur durch "Probieren" - jedenfalls fällt mir da nichts Anderes ein!
Ich würde halt die 4er-Potenzen in Summanden zerlegen und schauen, ob da Paare von Quadratzahlen möglich sind.
Bei 1, 16, 81, 256 hab' ich's schon selbst probiert: Da geht nix!
mfG!
Zwerglein
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