Lösen einer DGL mit hom. DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL: y'+y=sinx
Die Lösung der homogenen DGL lautet: [mm] y(x)=c*e^{-x} [/mm] |
Ich habe es soweit gerechnet, würde aber gerne um eine Prüfung des Ergebniswegs bitten:
gesucht ist allg. Lösung der DGL
y'+y=sinx
[mm] y_{hom}(x) [/mm] = c [mm] e^{-x}
[/mm]
[mm] y_{p}(x) [/mm] = c(x) [mm] e^{-x}
[/mm]
nun Einsetzen in DGL
c'(x) [mm] e^{-x} [/mm] + c(x) [mm] e^{-x} [/mm] (-1) + c(x) [mm] e^{-x} [/mm] = sin x
c'(x) [mm] e^{-x} [/mm] = sinx | [mm] e^x
[/mm]
c'(x) = sinx [mm] e^x
[/mm]
[mm] \integral{dc}=\integral{sinx e^{x} dx}
[/mm]
C(X) = - cos x [mm] e^{x} [/mm] +sin x [mm] e^{x} [/mm] + c
[mm] y_{p}(x) [/mm] = c(x) [mm] e^{-x}
[/mm]
= (-cos x [mm] e^{x} [/mm] + sin x [mm] e^{x}) e^{-x}
[/mm]
[mm] y_{allg}(x)= y_{hom}(x) [/mm] + [mm] y_{p}(x)
[/mm]
= c e^(-x) + (-cos x [mm] e^{x}+ [/mm] sin x [mm] e^{x}) e^{-x}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Sa 07.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Frankstar!
Das sieht gut aus. Jedoch kannst Du ganz am Ende noch die Klammer zusammenfassen, da sich dort jeweils ergibt: [mm] $e^x*e^{-x} [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
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muss das C von der partikulären eigentlich mit in die Klammer bei der allgemeinen Lösung (siehe Ende)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.es fehlt ein Faktor 1/2
du hast: $C(x) = - cos x $ [mm] e^{x} [/mm] $ +sin x $ [mm] e^{x} [/mm] $ + c $
richtig ist $C(x) = 0.5*(- cos x * [mm] e^{x} [/mm] +sin x * [mm] e^{x} [/mm] )+ c$
2. wenn du eine part. Lösung rätst, dann gilt [mm] y=y_h+y_p
[/mm]
bei variation der Konstanten gilt [mm] y=C(x)*y_H
[/mm]
damit ist deine Frage mit dem c später beantwortet.
Um solche Fehler, wie das 0.5 zu vermeiden, lohnt es sich immer die endlösung zur Probe in die Dgl einzusetzen.
Gruss leduart
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ist mir nicht nachvollziehbar, wie du auf die 0,5 kommst
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.rechne mal vor, wie du das Integral bestimmt hast.
2. setz in die Dgl ein.
Gruss leduart
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