Lösen einer Exponentialgleichu < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 07.12.2008 | | Autor: | Anna2491 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung der Gleichung:
[mm] e^{\bruch{2}{5} * x - 0.5} [/mm] +5 = [mm] e^{\bruch{2}{5} *x +0.5} [/mm] +4
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Die Lösung lautet: [mm] x=\bruch{5}{4} [/mm] *(1-2*ln(e-1))
aber ich weiß nicht wie man darauf kommt und schreibe morgen Klausur. Den ln kann man ja nicht anwenden wegen der Summen auf den beiden Seiten..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 07.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Löse dei Summe auf einer Seite mal auf:
Also:
[mm] e^{\bruch{2}{5}x-0.5}+5=e^{\bruch{2}{5}x+0.5}+4 [/mm]
[mm] \gdw e^{\bruch{2}{5}x-0.5}+1=e^{\bruch{2}{5}x+0.5}
[/mm]
Jetzt mal durch [mm] e^{\bruch{2}{5}x+0.5} [/mm] teilen
[mm] \gdw \bruch{e^{\bruch{2}{5}x-0.5}}{e^{\bruch{2}{5}x+0.5}}+\bruch{1}{e^{\bruch{2}{5}x+0.5}}=1
[/mm]
[mm] \gdw e^{(\bruch{2}{5}x-0.5)-(\bruch{2}{5}x+0.5)}+\bruch{1}{e^{\bruch{2}{5}x+0.5}}=1
[/mm]
[mm] \gdw e^{-1}+\bruch{1}{e^{\bruch{2}{5}x+0.5}}=1
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{e^{\bruch{2}{5}x+0.5}}=1+\bruch{1}{e}
[/mm]
[mm] \gdw e^{\bruch{2}{5}x+0.5}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{e}}
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 07.12.2008 | | Autor: | Anna2491 |
mmh nicht wirklich weil ich nicht weiß wie ich das weiter vereinfachen soll. auf der linken seite kann man ja jetzt den ln anwenden aber rechts geht das ja irgendwie noch nicht und wenn man den bruch auflöst und die linke seite mit (1+ 1/e) multipliziert komme ich auch nicht weiter..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechts steht doch ne positive Zahl, (beseitige noch den Doppelbruch und sie ist einfacher). Aber von ner Zahl kann man immer den ln bilden (es sei denn sie sei negativ)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 07.12.2008 | | Autor: | Anna2491 |
ich steh gerade voll auf dem Schlauch ;)
also wie soll ich den Doppelbruch den beseitigen? Im Moment klappt echt garnichts bei mir -.-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 07.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du die Summe im Nenner auflöst, gilt:
[mm] e^{\bruch{2}{5}x+0.5}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{e}}
[/mm]
[mm] \gdw e^{\bruch{2}{5}x+0.5}=\bruch{1}{\bruch{e}{e}+\bruch{1}{e}}
[/mm]
[mm] \gdw e^{\bruch{2}{5}x+0.5}=\bruch{1}{\bruch{e+1}{e}}
[/mm]
[mm] \gdw e^{\bruch{2}{5}x+0.5}=\bruch{e}{e+1}
[/mm]
Und jetzt mal den [mm] \ln [/mm] draufloslassen
[mm] \gdw \ln\left(e^{\bruch{2}{5}x+0.5}\right)=\ln\left(\bruch{e}{e+1}\right)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{5}x+0.5=\ln\left(\bruch{e}{e+1}\right)
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran. Denke mal evtl an die Logarithmengesetze.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 07.12.2008 | | Autor: | Anna2491 |
Also wäre das dann
[mm] \bruch{2}{5} [/mm] *x +0,5 = ln e - ln (e+1)
[mm] \gdw \bruch{2}{5} [/mm] *x +0,5 -1 +ln(e+1) =0
[mm] \gdw \bruch{2}{5}*x [/mm] -0,5 +ln(e+1) =0
[mm] \gdw \bruch{2}{5}*x [/mm] = 0,5 - ln(e+1)
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{5}{2}*(0,5-ln(e+1))
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= [mm] \bruch{5}{4} [/mm] - [mm] \bruch{5}{2}*ln(e+1)
[/mm]
und jetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 So 07.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Also wäre das dann
> [mm]\bruch{2}{5}[/mm] *x +0,5 = ln e - ln (e+1)
> [mm]\gdw \bruch{2}{5}[/mm] *x +0,5 -1 +ln(e+1) =0
> [mm]\gdw \bruch{2}{5}*x[/mm] -0,5 +ln(e+1) =0
> [mm]\gdw \bruch{2}{5}*x[/mm] = 0,5 - ln(e+1)
> [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\bruch{5}{2}*(0,5-ln(e+1))[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x= [mm]\bruch{5}{4}[/mm] - [mm]\bruch{5}{2}*ln(e+1)[/mm]
>
> und jetzt?
Klammerst du einmal [mm] \bruch{5}{4} [/mm] aus, und du erhältst deine Lösung vom Anfang.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 So 07.12.2008 | | Autor: | Anna2491 |
alles klar, dankeschön!
Anna
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