Lösen einer komplexen Gleichun < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Di 27.10.2009 | | Autor: | kch |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Gleichung:
(z+1)/(z-1)=2z+3i |
Mein Lösungsansatz ist:
z+1=(2z+3i)(z-1)
[mm] 0=2z^2-2z+3iz-3i-z-1
[/mm]
[mm] 0=2z^2+z(-2+3i-1)-3i-1
[/mm]
Dann z=x+iy einsetzen und der Realteil und der Imaginärteil muss 0 sein.
Das ergibt dann:
[mm] 0=2x^2-2y^2-3x-3y-1 [/mm] und 0=4xy+3x-3y-1
Das wird aber eine total lange Rechnung. Ich kann mir das nicht vorstellen, denn als Lösung wird lapidar im Buch
[mm] z_0=1/2(3-i) [/mm] und [mm] z_1 [/mm] = -i
angegeben.
Hat einer einen Tipp wie man die Gleichung leichter lösen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Di 27.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Lösen Sie die folgende Gleichung:
> (z+1)/(z-1)=2z+3i
> Mein Lösungsansatz ist:
> z+1=(2z+3i)(z-1)
> [mm]0=2z^2-2z+3iz-3i-z-1[/mm]
> [mm]0=2z^2+z(-2+3i-1)-3i-1[/mm]
Was hast du gegen diese quadratische Gleichung?
Normalform:
[mm] 0=z^2+z(-1,5+1,5i)-1,5i-0,5
[/mm]
[mm] z_{1,2}=...
[/mm]
Gruß Abakus
> Dann z=x+iy einsetzen und der Realteil und der
> Imaginärteil muss 0 sein.
> Das ergibt dann:
> [mm]0=2x^2-2y^2-3x-3y-1[/mm] und 0=4xy+3x-3y-1
> Das wird aber eine total lange Rechnung. Ich kann mir das
> nicht vorstellen, denn als Lösung wird lapidar im Buch
> [mm]z_0=1/2(3-i)[/mm] und [mm]z_1[/mm] = -i
> angegeben.
> Hat einer einen Tipp wie man die Gleichung leichter lösen
> kann?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Di 27.10.2009 | | Autor: | kch |
| Aufgabe | [mm] 0=z^2+(-1.5+1.5i)z-1.5i-0.5
[/mm]
[mm] z_{1,2}=... [/mm] |
Ich kannte die allgemeine Lösung in der Normalform nicht und habe nun gefunden:
[mm] az^2+bz+c=0
[/mm]
wird durch
[mm] z_{1,2}=-b/(2a)\pm \sqrt{4ac-b^2}/(2a) [/mm] i
gelöst wird.
Nun habe ich eingesetzt und erhalte:
[mm] z_{1,2} [/mm] = 3/4-3/4i [mm] \pm \sqrt{-2-3/2i}/2 [/mm] i
aber das ist doch nicht lösbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Di 27.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
im komplexen kann man doch jede Wurzel einfach ziehen. schreib die entsprechende Zahl [mm] z=x+iy=r*e^{i\phi+2\pi*n}
[/mm]
dann ist [mm] \wurzel{z}=\wurzel{r}*e^{i\phi/2+2\pi*n/2}
[/mm]
auf anderem Weg, also direkt mit x+iy ist viel umstaendlicher.
am Ende kannst du natuerlich wieder [mm] z=rcos\phi+rsin\phi [/mm] umwandeln.
warum du die Lösung mit dem i bei der wurzel geschrieben hast versteh ich nicht.
Gruss leduart
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