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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mo 13.11.2006 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{ Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des Polynoms.}$
[/mm]
$p(z) := [mm] z^4+4iz^3-2z^2+4iz+1$
[/mm]
[mm] $\text{\underline{Hinweis:} Multipliziere }p(z)\text{ mit }\dfrac{1}{z^2}\text{ und substituiere }w:=z+\dfrac{1}{z}$ [/mm] |
So, hallo Leute.
Diese Gleichung soll ich lösen, stell ich mir eigentlich auch gar nicht so schwer vor 
Nach dem ersten Schritt hat man dann
[mm] $z^2+4iz-2+\dfrac{4}{i}+\dfrac{1}{z^2}$
[/mm]
War ja noch nich schwer...
Aber wie soll ich das nun laut Hinweis substituieren. Wie genau geht man da vor?
Danke und Gruß
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... und der Rest ist auch nicht schwerer. Berechne einmal
[mm]w^2 = \left( z + \frac{1}{z} \right)^2[/mm]
Dann wirst du sehen, daß Teile davon in deinem Term vorkommen. Biege den Term durch Addition und sofortige Subtraktion desselben Gliedes so hin, daß [mm]w^2[/mm] als Summand auftritt. Und in dem, was übrig bleibt, steckt dann auch wieder [mm]w[/mm] drin. Du bekommst eine quadratische Gleichung in [mm]w[/mm].
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