Lösen quadratischer Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösung der quadratischen Gleichung:
x²+(1+i)x+2(1-i)=0 |
Hallo liebe Community,
ich mache ab 1.9. meinen Zivildienst und langweile mich derzeit ein bisschen.
Zudem will ich auf mathematischer Ebene nicht total verblöden ;o
Als mir ein Freund erzählte, dass bald Mathe Vorkurse anlaufen dacht ich mir, dass ich dazu bestimmt auch ein interessantes Script finde, in das ich mich auch mal reinstürzen könnte.
Und wie erwartet:
http://fachschaft.informatik.uni-freiburg.de/?q=system/files/Skript_neu.pdf
Bis zur Seite 15 war ja noch nicht viel neues dabei; leider komme ich nicht so wirklich mit den komplexen Zahlen zurecht.
Daher wäre ich sehr dankbar, falls mir jemand eine kleine Hilfestellung geben könnte.
Mit meinem Weg das ganze über quadratische Ergänzung etc. zu lösen kam ich letztendlich auf ein:
[mm] (x+\bruch{1}{2}(1+i)²=-2\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}i
[/mm]
Und nunja, selbst hier darf ich bestimmt noch keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen :D
Zudem frug ich mich, ob man i²einfach immer direkt zu -1 umformt und mit verrechnet oder es noch aus irgendwelchen Gründen stehen lässt? Oder völlig egal?
Wäre auch sehr dankbar, falls jemand evtl. noch ein alternatives Vorkurs Script, ggf. sogar mit Lösungen der Aufgaben, auf die Schnelle empfehlen könnte.
Mit freundlichen Grüßen
Marco
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite oder dergleichen gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] i^2=-1 [/mm] gilt per Definition.
Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen geht immer, das ist ja gerade der Sinn der komplexen Zahlen, z.B. [mm] \sqrt{-9}=\sqrt{9}*\sqrt{-1}=3i.
[/mm]
Deine Lösung hab ich jetzt nicht nachgerechnet, aber mit quadratischer Ergänzung würde man zum Ziel kommen. Du kannst auch einfach die p-q-Formel benutzen (was ja im Grunde dasselbe wie quadratische Ergänzung ist).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ok, mit der q.E. scheint mir das hier wirklich erheblich schwieriger (jedenfalls am Anfang) zu sein.
Daher hier mal mein Ansatz und Ergebnis mit p-q-Formel:
[mm] x_{1,2}=\bruch{1+i}{2} \pm \wurzel{\bruch{(1+i)²}{4}+\bruch{8-8i}{4}}
[/mm]
...
[mm] x_{1,2}=\bruch{1+i}{2} \pm \bruch{\wurzel{9-6i+i²}}{2}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{1+i}{2} \pm \bruch{i-3}{2}
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] i-1 v [mm] x_{2}=2
[/mm]
Leider bin ich noch nicht mal in der Lage diese Werte wieder einzusetzen, um deren Richtigkeit zu überprüfen.
Und meine Probleme bei der Interpretation dieses Ergebnisses habe ich nun auch:
es soll ja einen reellen Teil geben, quasi die altbewährten Zahlen, und den imaginären Teil, welcher immer in Vielfachen von i ausgedrückt wird.
Kamm man sich das Ergebnis hier noch räumlich vorstellen?
Und hat die zweite Lösung, also 2, überhaupt einen Imaginärteil? Ggf. 0*i?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar
Lg Marco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mi 27.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo!
>
> Ok, mit der q.E. scheint mir das hier wirklich erheblich
> schwieriger (jedenfalls am Anfang) zu sein.
Ist es meistens auch, gerade bei Summentermen als Koeffizieneten
>
> Daher hier mal mein Ansatz und Ergebnis mit p-q-Formel:
>
> [mm]x_{1,2}=\bruch{1+i}{2} \pm \wurzel{\bruch{(1+i)²}{4}+\bruch{8-8i}{4}}[/mm]
>
> ...
>
> [mm]x_{1,2}=\bruch{1+i}{2} \pm \bruch{\wurzel{9-6i+i²}}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=\bruch{1+i}{2} \pm \bruch{i-3}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=[/mm] i-1 v [mm]x_{2}=2[/mm]
Du hast zwei Vorzeichendreher ganz am Anfang:
[mm] x^{2}+(1+i)x+2(1-i)=0 [/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=\red{-}\bruch{1+i}{2}\pm\wurzel{\bruch{(1+i)²}{4}\red{-}(2-i)}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1+i}{2}\pm\wurzel{\bruch{1+2i+i²}{4}-\bruch{4(2-2i)}{4}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1+i}{2}\pm\wurzel{\bruch{1+2i+i²-(4(2-2i))}{4}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1+i}{2}\pm\wurzel{\bruch{1+2i+i²-8+8i}{4}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1+i}{2}\pm\wurzel{\bruch{1+2i-1-8+8i}{4}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1+i}{2}\pm\wurzel{\bruch{10i-8}{4}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1+i\pm\wurzel{10i-8}}{2}
[/mm]
>
>
> Leider bin ich noch nicht mal in der Lage diese Werte
> wieder einzusetzen, um deren Richtigkeit zu überprüfen.
>
>
> Und meine Probleme bei der Interpretation dieses
> Ergebnisses habe ich nun auch:
>
> es soll ja einen reellen Teil geben, quasi die altbewährten
> Zahlen, und den imaginären Teil, welcher immer in
> Vielfachen von i ausgedrückt wird.
>
> Kamm man sich das Ergebnis hier noch räumlich vorstellen?
> Und hat die zweite Lösung, also 2, überhaupt einen
> Imaginärteil? Ggf. 0*i?
Die hat sowas, ja. Jede Komplexe Zahl z lasst sich in z=a+i*b zerlegen, wobei a und b auch Null sein können.
>
> Ich wäre für jede Hilfe dankbar
>
>
> Lg Marco
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Danke für deine flotte Antwort!
Ich bin leider seit der 7. Klasse, oder wann auch immer man sie lernt, auf die q.E. eingeschossen und benutze die pq- Formel daher nie; daher naja, doofer Fehler meinerseits.
Nun dann nur noch zum Abschluss:
könnte man diese Funktion auch irgendwie zeichnen?
Oder lassen sich Funktionen, welche imaginäre Teile beeinhalten nicht zeichnen; sondern sind halt nur imaginär?
Lg
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Hey
> Nun dann nur noch zum Abschluss:
>
> könnte man diese Funktion auch irgendwie zeichnen?
> Oder lassen sich Funktionen, welche imaginäre Teile
> beeinhalten nicht zeichnen; sondern sind halt nur imaginär?
>
Der Raum der komplexen Zahlen ist 2-dimensional. Wenn du also eine Funktion [mm] f:\mathbb{C} \to \mathbb{C} [/mm] betrachtest hast du eine Abbildung von einem 2-dimensionalen Raum in einen 2-dimensionalen Raum. Insgesamt also 4 Dimensionen, dies lässt sich leider so nicht mehr zeichnen!
Es gibt aber diverse Möglichkeiten, so viel wie möglich noch graphisch darzustellen. Eine Möglichkeit ist, den Urbild- und den Bildraum getrennt in zwei Zeichnungen der komplexen Ebene darzustellen.
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Ok, dann werde ich mich einfach mal auf diese Abstraktion einlassen.
Vielen Dank soweit.
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