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| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung:
(a) [mm] 2y'-\bruch{x}{y}= \bruch{xy}{x^2-1}
[/mm]
(b) [mm] y'+y^2=x^2-2x
[/mm]
Hinweis: Setzt y=ax+b so stehen auf beiden Seite eine quadratische Polynome.Deshalb kann man mit diesem Ansatz vielleicht eine spezielle Lösung der Differentialgleichung finden.
(c) (1-2xy)y'=y(y-1)
Man soll zuerst eine Dgl für die Umkehrfunktion x(y) aufstellen und löst. |
Guten Abend,
meine Problem sind mal wieder weitreichend.
Zu (a) würde ich gern einfach wissen, wie ich rangehen muss. Ich denke ja es müsste mit einer geeignet Substitution, und dann mittels VdK gehen, funktionieren. Leider finde ich den Anfang nicht.
Zu (b) also mein Vorgehen war:
spezielle lösung finden --> bernoulli --> variation der konstanten --> rücksubstituieren --> rücksubstituieren
aber ich komm am ende auf ein Ergebnis was vorn und hinten nicht stimmt, bleibe einfach stecken
Zu (c) hab sowas noch nie probiert, wie fängt man sowas an?
Ich weiß, sind wieder viele Fragen, aber ich verstehs leider noch nicht wirklich, wäre schön wenn Ihr mir helfen könntet.
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 So 15.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen sie die Lösung:
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> (a) [mm]2y'-\bruch{x}{y}= \bruch{xy}{x^2-1}[/mm]
> (b) [mm]y'+2y=x^2-2x[/mm]
> Hinweis: Setzt y=ax+b so stehen auf beiden Seite eine
> quadratische Polynome.Deshalb kann man mit diesem Ansatz
> vielleicht eine spezielle Lösung der Differentialgleichung
> finden.
> (c) (1-2xy)y'=y(y-1)
> Man soll zuerst eine Dgl für die Umkehrfunktion x(y)
> aufstellen und löst.
> Guten Abend,
>
> meine Problem sind mal wieder weitreichend.
>
> Zu (a) würde ich gern einfach wissen, wie ich rangehen
> muss. Ich denke ja es müsste mit einer geeignet
> Substitution, und dann mittels VdK gehen, funktionieren.
> Leider finde ich den Anfang nicht.
Tipp: Multipliziere die DGL mit y! Da dann links $2yy'$ und rechts [mm] $y^2$ [/mm] stehen, bietet sich die Substitution [mm] $z=y^2$ [/mm] an.
>
> Zu (b) also mein Vorgehen war:
> spezielle lösung finden --> bernoulli --> variation der
> konstanten --> rücksubstituieren --> rücksubstituieren
> aber ich komm am ende auf ein Ergebnis was vorn und hinten
> nicht stimmt, bleibe einfach stecken
Dann poste bitte, was du gerechnet hast!
> Zu (c) hab sowas noch nie probiert, wie fängt man sowas
> an?
Mit dem Satz über die implizite Funktion:
[mm] y'(x) = \bruch{1}{x'(y(x))} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
Danke für deinen Beitrag, der Tipp für (a) sieht gut aus, werd ich gleich mal in Angriff nehmen.
Also bei (b) habe ich jetzt eine Lösung, die sieht etwas gewaltig aus, aber ich denke das sie stimmt.
Für die spezielle Lösung hab ich [mm] y_s=x-1
[/mm]
Dann habe ich mit Bernoulli und Variation der Konstanten
[mm] y_a= \bruch{1}{e^{-x^2+2x}*(\integral{e^{x^2-2x} dx}+C)}
[/mm]
und dann natürlich beide addieren: [mm] y=y_s+y_a
[/mm]
Ich hoffe das stimmt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 So 15.11.2009 | | Autor: | Leipziger |
Ich hoffe das stimmt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 So 15.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also bei (b) habe ich jetzt eine Lösung, die sieht etwas
> gewaltig aus, aber ich denke das sie stimmt.
> Für die spezielle Lösung hab ich [mm]y_s=x-1[/mm]
Das ist aber keine Lösung der DGL [mm] $y'+2y=x^2-2x$, [/mm] denn links steht dann $2x-1$.
Wie kommst du denn auf diese Lösung?
Viele Grüße
Rainer
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tut mir leid, hatte nen Dreher drin - 2 mal.
Die Aufgabe lautet eig: [mm] y'+y^2=x^2-2x
[/mm]
meine spez. lsg lautet: [mm] y_s=1-x [/mm]
und das hab ich eben mit dem Ricatti-Verfahren gemacht
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Hallo Leipziger,
> tut mir leid, hatte nen Dreher drin - 2 mal.
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> Die Aufgabe lautet eig: [mm]y'+y^2=x^2-2x[/mm]
>
>
> meine spez. lsg lautet: [mm]y_s=1-x[/mm]
> und das hab ich eben mit dem Ricatti-Verfahren gemacht
Diese spezielle Lösung [mm]y_{s}[/mm] ist richtig.
Gruss
MathePower
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Zu (a) habe ich jetzt folgende Lösung:
y = [mm] \wurzel{x^2-1+C*\wurzel{x^2-1}}
[/mm]
ist das korrekt?
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> Zu (a) habe ich jetzt folgende Lösung:
>
> y = [mm]\wurzel{x^2-1+C*\wurzel{x^2-1}}[/mm]
>
> ist das korrekt?
[mm] y=\red{\pm}\sqrt{...}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gruß tee
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> Die Aufgabe lautet eig: [mm]y'+y^2=x^2-2x[/mm]
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> meine spez. lsg lautet: [mm]y_s=1-x[/mm]
> und das hab ich eben mit dem Ricatti-Verfahren gemacht
Es gibt Namen, die von den meisten falsch geschrieben
bzw. gelesen werden.
Dieser italienische Mathematiker hiess nicht Ricatti,
sondern ![[]](/images/popup.gif) Riccati (mit langem "a" ausgesprochen).
Bei Google habe ich festgestellt, dass mit dem
Suchbegriff
Ricatti -Riccati
mehr als doppelt so viele Einträge erscheinen wie
bei
Riccati -Ricatti
Die falsche Schreibweise dominiert also erheblich ...
... das kann zwar auch damit zusammenhängen, dass
der Name Ricatti eben wirklich deutlich häufiger
vorkommt als Riccati ... Also nochmal gegoogelt:
ricatti differentialgleichung 10600
riccati differentialgleichung 43100
damit ist die Welt doch nicht so sehr aus dem Lot
wie ich befürchtet hatte 
LG Al-Chw.
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Ich komme bei (c) einfach nicht weiter, ich seh nicht, wie diese Gleichung lösen muss. Hab die Umkehrfunktion zwar gemacht, aber die hilft mir leider auch nicht weiter
[mm] x'=\bruch{1-2*xy}{y*(y-1)}
[/mm]
kann mir vielleicht einer sagen, wie ich damit jetzt weitermachen kann/soll?!
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Hallo Leipziger,
> Ich komme bei (c) einfach nicht weiter, ich seh nicht, wie
> diese Gleichung lösen muss. Hab die Umkehrfunktion zwar
> gemacht, aber die hilft mir leider auch nicht weiter
>
> [mm]x'=\bruch{1-2*xy}{y*(y-1)}[/mm]
>
> kann mir vielleicht einer sagen, wie ich damit jetzt
> weitermachen kann/soll?!
Schreibe die DGL so um:
[mm]x'+x*\bruch{2*y}{y*\left(y-1\right)}=\bruch{1}{y*\left(y-1\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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Danke für die Antwort.
Ich habe jetzt
x = [mm] \bruch{y - ln(y) + C}{(y - 1)²}
[/mm]
raus.
Leider lässt sich das schlecht umstellen, aber ist das denn erstmal korrekt?
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Hallo Leipziger,
> Danke für die Antwort.
>
> Ich habe jetzt
>
> x = [mm]\bruch{y - ln(y) + C}{(y - 1)²}[/mm]
Schreibe die Exponenten in geschweiften Klammern: x^{2}
Dann lautet die Lösung
[mm]x = \bruch{y - ln(y) + C}{(y - 1)^{2}}[/mm]
>
> raus.
>
> Leider lässt sich das schlecht umstellen, aber ist das
> denn erstmal korrekt?
Die Lösung ist korrekt, sie läßt sich auch nicht nach y umstellen.
Gruss
MathePower
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