Lösen von DGL, Vektordarstell. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Do 29.01.2015 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende lineare Systeme gewöhnliche Differentialgleichungen.
a)
[mm] \dot{x} [/mm] = Ax + b(t)
A = [mm] \begin{pmatrix}
-6 & -4 & 4 \\
2 & 0 & -1 \\
-6 & -6 & 5
\end{pmatrix} [/mm] b = [mm] \begin{pmatrix} e^{-4t} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] x(0) = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
b)
[mm] \dot{x} [/mm] = Ax
A = [mm] \begin{pmatrix}
9 & -10 & 10 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix} [/mm] x(0) = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] |
Hi zusammen,
ich habe zunächst bin b) begonnen da ich hier den homogenen Fall habe.
Ich berechne zunächst die Determinate:
[mm] det(\lambda [/mm] - A) = [mm] det\begin{pmatrix}
\lambda-9 & \lambda+10 & \lambda-10 \\
\lambda & \lambda & \lambda+1 \\
\lambda & \lambda-1 & \lambda+2
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] -17\lambda [/mm] - 9
[mm] -17\lambda [/mm] - 9 = 0 -> [mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{9}{17}
[/mm]
Ist das soweit korrekt ?
-> [mm] \lambda \in \IR [/mm] -> x(t) = [mm] e^{\lambda * t}*v
[/mm]
Eigenvektor:
[mm] \lambda [/mm] in [mm] \begin{pmatrix}
\lambda-9 & \lambda+10 & \lambda-10 \\
\lambda & \lambda & \lambda+1 \\
\lambda & \lambda-1 & \lambda+2
\end{pmatrix} [/mm] einsetzen und mal [mm] \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{pmatrix} [/mm] = 0 -> v
Dann verwende ich x(t) = [mm] e^{\lambda * t}*v [/mm] und bin damit mit der Aufgabe fertig, richtig ?
Vielen Dank für die Hilfe im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Fr 30.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie folgende lineare Systeme gewöhnliche
> Differentialgleichungen.
>
> a)
> [mm]\dot{x}[/mm] = Ax + b(t)
>
> A = [mm]\begin{pmatrix}
-6 & -4 & 4 \\
2 & 0 & -1 \\
-6 & -6 & 5
\end{pmatrix}[/mm]
> b = [mm]\begin{pmatrix} e^{-4t} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> x(0) = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> b)
> [mm]\dot{x}[/mm] = Ax
>
> A = [mm]\begin{pmatrix}
9 & -10 & 10 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> x(0) = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> Hi
> zusammen,
>
> ich habe zunächst bin b) begonnen da ich hier den
> homogenen Fall habe.
>
> Ich berechne zunächst die Determinate:
> [mm]det(\lambda[/mm] - A) = [mm]det\begin{pmatrix}
\lambda-9 & \lambda+10 & \lambda-10 \\
\lambda & \lambda & \lambda+1 \\
\lambda & \lambda-1 & \lambda+2
\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]-17\lambda[/mm] - 9
Das stimmt hinten und vorne nicht. Das charakteristische Polynom von A ist ein Polynom vom Grad 3 !!!
FRED
>
> [mm]-17\lambda[/mm] - 9 = 0 -> [mm]\lambda[/mm] = [mm]-\bruch{9}{17}[/mm]
> Ist das soweit korrekt ?
>
> -> [mm]\lambda \in \IR[/mm] -> x(t) = [mm]e^{\lambda * t}*v[/mm]
>
> Eigenvektor:
> [mm]\lambda[/mm] in [mm]\begin{pmatrix}
\lambda-9 & \lambda+10 & \lambda-10 \\
\lambda & \lambda & \lambda+1 \\
\lambda & \lambda-1 & \lambda+2
\end{pmatrix}[/mm]
> einsetzen und mal [mm]\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{pmatrix}[/mm]
> = 0 -> v
>
> Dann verwende ich x(t) = [mm]e^{\lambda * t}*v[/mm] und bin damit
> mit der Aufgabe fertig, richtig ?
>
> Vielen Dank für die Hilfe im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich gehe hier zum n-ten mal mein Skript durch und werde nicht wirklich schlau daraus.
Kann mir jemand vielleicht einen guten Internetseite zeigen auf der ich mich in das Thema einlesen kann ?
Gut wäre es wenn das erklärte auch anhand eines Beispiels erklärt wird.
Danke für die Hilfe im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 30.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Ausdruck [mm] det(\lambda [/mm] -A) ist schon falsch von einem Skalar kann man keine Matrix subtrahieren!du willst die Eigenvektoren von A finden
also [mm] A*x=\lambda*x [/mm] besser [mm] A*x=\lambda**E*x [/mm] E die Einheitsmatrix, dann hast du [mm] \lambda [/mm] nur auf der Diagonalen stehen.
Bsp
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
[mm] A-\lambda*E.=\pmat{ 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda }
[/mm]
det( [mm] A-\lambda*E.)=(1-\lambda)*(4-\lambda)-6
[/mm]
jetzt Lambda [mm] ausrechnen:\lambda_1=4, \lambda_2=1
[/mm]
jetzt Eigenvektoren bestimmen
[mm] \pmat{ 1-5 & 2 \\ 3 & 4 -5}*x=0 [/mm] zu [mm] \lambda_1 [/mm] entsprechend zu [mm] \lambda_2
[/mm]
Gruuß ledum
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für den Hinweis.
Habe ich dann mal an die Determinanten und Eigenvektoren gewagt.
(A - [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] \begin{pmatrix}
9-\lambda & -10 & 10 \\
0 & -\lambda & -1 \\
0 & 0 & -2-\lambda
\end{pmatrix}
[/mm]
det(A - [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] -\lambda^{3} [/mm] + [mm] 7\lambda^{2} [/mm] + [mm] 17\lambda [/mm] + 9
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 & [mm] \lambda_{2} [/mm] = 9
Eigenvektor zu [mm] \lambda_{1}:
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
10 & -10 & 10 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix} [/mm] * v = 0
[mm] 10v_{1} [/mm] - [mm] 10v_{2} [/mm] + [mm] 10v_{3} [/mm] = 0
[mm] 0v_{1} [/mm] + [mm] 1v_{2} [/mm] - [mm] 1v_{3} [/mm] = 0 -> [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] -> beliebig wählbar
[mm] 0v_{1} [/mm] + [mm] 1v_{2} [/mm] - [mm] 1v_{3} [/mm] = 0
[mm] 10v_{1} [/mm] - [mm] 10v_{2} [/mm] + [mm] 10v_{3} [/mm] = 0 -> [mm] 10v_{1} [/mm] = 0 -> [mm] v_{1} [/mm] = 0
Also habe ich [mm] EV_{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
EV zu [mm] lambda_{2}:
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -10 & 10 \\
0 & -9 & -1 \\
0 & 1 & -11
\end{pmatrix} [/mm] * v = 0
[mm] -10v_{2} [/mm] + [mm] 10v_{3} [/mm] = 0 -> [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] -> beliebig wählbar
[mm] v_{1} [/mm] ist auch beliebig wählbar da es ja nicht existent ist.
[mm] EV_{2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Der [mm] EV_{1} [/mm] erscheint mir noch ganz ok. Jedoch macht [mm] EV_{2} [/mm] für mich keinen Sinn, da bei der 2ten und 3ten Zeile ja nicht [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] rauskommen würde.
Was habe ich falsch gemacht ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> danke für den Hinweis.
>
> Habe ich dann mal an die Determinanten und Eigenvektoren
> gewagt.
>
> (A - [mm]\lambda[/mm] E) = [mm]\begin{pmatrix}
9-\lambda & -10 & 10 \\
0 & -\lambda & -1 \\
0 & 0 & -2-\lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> det(A - [mm]\lambda[/mm] E) = [mm]-\lambda^{3}[/mm] + [mm]7\lambda^{2}[/mm] +
> [mm]17\lambda[/mm] + 9
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 & [mm]\lambda_{2}[/mm] = 9
>
> Eigenvektor zu [mm]\lambda_{1}:[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
10 & -10 & 10 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
> * v = 0
>
> [mm]10v_{1}[/mm] - [mm]10v_{2}[/mm] + [mm]10v_{3}[/mm] = 0
> [mm]0v_{1}[/mm] + [mm]1v_{2}[/mm] - [mm]1v_{3}[/mm] = 0 -> [mm]v_{2}[/mm] = [mm]v_{3}[/mm]
> -> beliebig wählbar
> [mm]0v_{1}[/mm] + [mm]1v_{2}[/mm] - [mm]1v_{3}[/mm] = 0
>
> [mm]10v_{1}[/mm] - [mm]10v_{2}[/mm] + [mm]10v_{3}[/mm] = 0 -> [mm]10v_{1}[/mm] = 0 -> [mm]v_{1}[/mm]
> = 0
>
> Also habe ich [mm]EV_{1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> EV zu [mm]lambda_{2}:[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & -10 & 10 \\
0 & -9 & -1 \\
0 & 1 & -11
\end{pmatrix}[/mm]
> * v = 0
>
> [mm]-10v_{2}[/mm] + [mm]10v_{3}[/mm] = 0 -> [mm]v_{2}[/mm] = [mm]v_{3}[/mm] -> beliebig
> wählbar
>
> [mm]v_{1}[/mm] ist auch beliebig wählbar da es ja nicht existent
> ist.
>
Bis hierhin ist das alles richtig.
Jetzt musst Du das in die 2 verbleibenden Gleichungen einsetzen.
Dann folgt nämlich [mm]v_{2}=v_{3}=0[/mm]
Und somit
[mm]EV_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ \red{0} \\ \red{0} \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]EV_{2}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Der [mm]EV_{1}[/mm] erscheint mir noch ganz ok. Jedoch macht [mm]EV_{2}[/mm]
> für mich keinen Sinn, da bei der 2ten und 3ten Zeile ja
> nicht [mm]v_{2}[/mm] = [mm]v_{3}[/mm] rauskommen würde.
> Was habe ich falsch gemacht ?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Danke für den Hinweis das zwar [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] aber die beiden damit nicht beliebig wählbar sind.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
so nun habe ich [mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 & [mm] \lambda_{2} [/mm] = 9 und [mm] EV_{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] EV_{2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
[/mm]
Da [mm] \lambda_{1,2} \in \IR [/mm] -> x(t) = [mm] e^{\lambda t}v
[/mm]
Habe ich also x(t) = [mm] e^{\lambda_{1} t}v_{1} [/mm] + [mm] e^{\lambda_{2} t}v_{2}
[/mm]
Nun muss ich doch nur noch x(0) = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] einsetzen und dann habe ich die Lösung, richtig ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
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> so nun habe ich [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 & [mm]\lambda_{2}[/mm] = 9 und
> [mm]EV_{1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]EV_{2}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Da [mm]\lambda_{1,2} \in \IR[/mm] -> x(t) = [mm]e^{\lambda t}v[/mm]
>
> Habe ich also x(t) = [mm]e^{\lambda_{1} t}v_{1}[/mm] +
> [mm]e^{\lambda_{2} t}v_{2}[/mm]
>
> Nun muss ich doch nur noch x(0) = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> einsetzen und dann habe ich die Lösung, richtig ?
Nein.
Du brauchst zunächst noch eine Lösungsbasis,
denn bisher hast Du nur zwei mögliche Lösungen
des DGL-Systems. Benötigt werden aber 3 Lösungen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> Hallo Bindl,
>
> > Hi,
> >
> > so nun habe ich [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 & [mm]\lambda_{2}[/mm] = 9 und
> > [mm]EV_{1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] und
> > [mm]EV_{2}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.[/mm]
> >
> > Da [mm]\lambda_{1,2} \in \IR[/mm] -> x(t) = [mm]e^{\lambda t}v[/mm]
> >
> > Habe ich also x(t) = [mm]e^{\lambda_{1} t}v_{1}[/mm] +
> > [mm]e^{\lambda_{2} t}v_{2}[/mm]
> >
> > Nun muss ich doch nur noch x(0) = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> > einsetzen und dann habe ich die Lösung, richtig ?
>
> Nein.
>
> Du brauchst zunächst noch eine Lösungsbasis,
> denn bisher hast Du nur zwei mögliche Lösungen
> des DGL-Systems. Benötigt werden aber 3 Lösungen.
>
[mm] v_{1} [/mm] ist hier ja [mm] EV_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] ist hier [mm] EV_{2}.
[/mm]
Ich habe nun echt keine Ahnung was hier nun zu machen habe.
Helft mir bitte auf die Sprünge.
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Hallo Bindl,
> > Hallo Bindl,
> >
> > > Hi,
> > >
> > > so nun habe ich [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 & [mm]\lambda_{2}[/mm] = 9 und
> > > [mm]EV_{1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] und
> > > [mm]EV_{2}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.[/mm]
> >
> >
> > > Da [mm]\lambda_{1,2} \in \IR[/mm] -> x(t) = [mm]e^{\lambda t}v[/mm]
> > >
>
> > > Habe ich also x(t) = [mm]e^{\lambda_{1} t}v_{1}[/mm] +
> > > [mm]e^{\lambda_{2} t}v_{2}[/mm]
> > >
> > > Nun muss ich doch nur noch x(0) = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> > > einsetzen und dann habe ich die Lösung, richtig ?
> >
> > Nein.
> >
> > Du brauchst zunächst noch eine Lösungsbasis,
> > denn bisher hast Du nur zwei mögliche Lösungen
> > des DGL-Systems. Benötigt werden aber 3 Lösungen.
> >
> [mm]v_{1}[/mm] ist hier ja [mm]EV_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] ist hier [mm]EV_{2}.[/mm]
>
> Ich habe nun echt keine Ahnung was hier nun zu machen
> habe.
> Helft mir bitte auf die Sprünge.
>
Der Eigennwert [mm]\lambda=-1[/mm] ist doppelt.
Ermittelt wurde bisher nur eine Lösung.
Es ist also eine zweite linear unabhängige Lösung
zur bisherigen Lösung zu finden.
Mache dazu den Ansatz:
[mm]\left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t}[/mm]
und setze dies dann in das DGL-System ein
und ermittle die Vektoren a und b.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> Der Eigennwert [mm]\lambda=-1[/mm] ist doppelt.
Ok, da verstehe ich.
> Ermittelt wurde bisher nur eine Lösung.
> Es ist also eine zweite linear unabhängige Lösung
> zur bisherigen Lösung zu finden.
>
> Mache dazu den Ansatz:
>
> [mm]\left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t}[/mm]
>
> und setze dies dann in das DGL-System ein
> und ermittle die Vektoren a und b.
>
Danke für den Hinweis und den Ansatz.
Nur verstehe ich nicht wirklich was ich zu tun habe. Ich habe eine solche vorher noch nicht gemacht.
Also ich habe als DGL [mm] \dot{x} [/mm] = Ax.
Dort soll ich nun [mm] \left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t} [/mm] einsetzen.
Ich weiß weder vor was ich das hier einsetzen soll. Geschweige denn weiß ich was dann rechnen sollte.
Danke nochmal für den Tipp, nur könntest du mir diesen vielleicht etwas erklären ?
Danke für die Hilfe im voraus
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Hallo Bindl,
> > Der Eigennwert [mm]\lambda=-1[/mm] ist doppelt.
>
> Ok, da verstehe ich.
>
> > Ermittelt wurde bisher nur eine Lösung.
> > Es ist also eine zweite linear unabhängige Lösung
> > zur bisherigen Lösung zu finden.
> >
> > Mache dazu den Ansatz:
> >
> > [mm]\left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t}[/mm]
> >
> > und setze dies dann in das DGL-System ein
> > und ermittle die Vektoren a und b.
> >
>
> Danke für den Hinweis und den Ansatz.
> Nur verstehe ich nicht wirklich was ich zu tun habe. Ich
> habe eine solche vorher noch nicht gemacht.
>
> Also ich habe als DGL [mm]\dot{x}[/mm] = Ax.
>
> Dort soll ich nun [mm]\left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t}[/mm]
> einsetzen.
>
> Ich weiß weder vor was ich das hier einsetzen soll.
> Geschweige denn weiß ich was dann rechnen sollte.
>
> Danke nochmal für den Tipp, nur könntest du mir diesen
> vielleicht etwas erklären ?
>
Der Ansatz wird in die gegebene DGL eingesetzt:
[mm]x'=Ax \Rightarrow \left( \ \left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t} \right)'=A\left( \ \left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t} \right)[/mm]
Berechne dies und führe dann einen Koeffizientenvergleich durch.
Dann erhältst Du zwei Bedingungslgleichungen aus denen sich
die Unbekannten ergeben.
>
> Danke für die Hilfe im voraus
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> Der Ansatz wird in die gegebene DGL eingesetzt:
>
> [mm]x'=Ax \Rightarrow \left( \ \left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t} \right)'=A\left( \ \left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t} \right)[/mm]
>
Also ich weiß wie man einen Vektor ableiten wenn Werte gegeben sind.
Einen Vektor [mm] \vec{a} [/mm] ohne Werte abzuleiten ist mir neu.
Ich habe es mal versucht. Ich bin mir allerdings ziemlich sicher das es FALSCH ist.
[mm] (\vec{a}*t+\vec{b})*e^{-t})' [/mm] = [mm] (\vec{a}*t+\vec{b})' [/mm] * [mm] e^{-t} [/mm] + [mm] (\vec{a}*t+\vec{b}) [/mm] * [mm] (-e^{-t})
[/mm]
[mm] =(\vec{a}'+\vec{b}') [/mm] * [mm] e^{-t} [/mm] - [mm] e^{-t}\vec{a}t [/mm] - [mm] e^{-t}\vec{b}
[/mm]
[mm] =\vec{a}'e^{-t} [/mm] + [mm] \vec{b}e^{-t} [/mm] - [mm] e^{-t}\vec{a}t [/mm] - [mm] e^{-t}\vec{b}
[/mm]
Kompletter Mist, oder ?
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Hallo Bindl,
> > Der Ansatz wird in die gegebene DGL eingesetzt:
> >
> > [mm]x'=Ax \Rightarrow \left( \ \left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t} \right)'=A\left( \ \left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t} \right)[/mm]
>
> >
>
> Also ich weiß wie man einen Vektor ableiten wenn Werte
> gegeben sind.
> Einen Vektor [mm]\vec{a}[/mm] ohne Werte abzuleiten ist mir neu.
>
> Ich habe es mal versucht. Ich bin mir allerdings ziemlich
> sicher das es FALSCH ist.
>
> [mm](\vec{a}*t+\vec{b})*e^{-t})'[/mm] = [mm](\vec{a}*t+\vec{b})'[/mm] *
> [mm]e^{-t}[/mm] + [mm](\vec{a}*t+\vec{b})[/mm] * [mm](-e^{-t})[/mm]
> [mm]=(\vec{a}'+\vec{b}')[/mm] * [mm]e^{-t}[/mm] - [mm]e^{-t}\vec{a}t[/mm] -
> [mm]e^{-t}\vec{b}[/mm]
> [mm]=\vec{a}'e^{-t}[/mm] + [mm]\vec{b}e^{-t}[/mm] - [mm]e^{-t}\vec{a}t[/mm] -
> [mm]e^{-t}\vec{b}[/mm]
>
> Kompletter Mist, oder ?
>
Nein, der zweite Summand ist zuviel.
[mm](\vec{a}*t+\vec{b})*e^{-t})'=\vec{a}'e^{-t} - e^{-t}\vec{a}t - e^{-t}\vec{b}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
so nun habe ich folgendes:
[mm] \vec{a}'e^{-t} [/mm] - [mm] e^{-t}\vec{a}t [/mm] - [mm] e^{-t}\vec{b} [/mm] = A [mm] (\vec{a}te^{-t} [/mm] + [mm] \vec{b}e^{-t})
[/mm]
Ich habe verstanden das bei [mm] \lambda [/mm] = -1 eine doppelte Nullstelle habe ich deswegen noch eine linear unabhängige Lösung brauche. Nur wieso ich das nun gemacht habe und was ich weiter machen muss um diese zweite Lösung zu bekommen weiß ich nicht wirklich.
Kann mir jemand weiterhelfen ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> so nun habe ich folgendes:
>
> [mm]\vec{a}'e^{-t}[/mm] - [mm]e^{-t}\vec{a}t[/mm] - [mm]e^{-t}\vec{b}[/mm] = A
> [mm](\vec{a}te^{-t}[/mm] + [mm]\vec{b}e^{-t})[/mm]
>
> Ich habe verstanden das bei [mm]\lambda[/mm] = -1 eine doppelte
> Nullstelle habe ich deswegen noch eine linear unabhängige
> Lösung brauche. Nur wieso ich das nun gemacht habe und
> was ich weiter machen muss um diese zweite Lösung zu
> bekommen weiß ich nicht wirklich.
>
Jetzt machst Du einen Koeffizientenvergleich,
d.h. die Koeffizienten vor t werden vergleichen.
Ebenso werden die Konstanten auf beiden Seiten
der Gleichung verglichen. Dann erhältst Du zwei
Bedingungsgleichungen aus denen die unbekannten
Vektoren zu bestimmen sind.
> Kann mir jemand weiterhelfen ?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 03.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Sorry, den Hinweis hattest du mir ja schon gegeben. Hatte ich wieder vergessen.
Also der Koeffitientenvergleich mit t:
[mm] -e^{-t}\vec{a}t [/mm] = [mm] A\vec{a}te^{-t} [/mm] dann kürze ich [mm] e^{-t} [/mm] und t selbst
[mm] -\vec{a} [/mm] = [mm] A\vec{a}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} -a_{1} \\ -a_{2} \\ -a_{3} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}
9 & -10 & 10 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}
[/mm]
So komme ich doch nicht auf [mm] \vec{a}, [/mm] oder ?
Ich schriebe mal noch meinen Koeffitientenvergleich mit den Konstanten auf:
[mm] \vec{a}`e^{-t} [/mm] - [mm] \vec{b}e^{-t} [/mm] = [mm] \vec{b}e^{-t}A
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht ?
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Hallo Bindl,
> Sorry, den Hinweis hattest du mir ja schon gegeben. Hatte
> ich wieder vergessen.
>
> Also der Koeffitientenvergleich mit t:
>
> [mm]-e^{-t}\vec{a}t[/mm] = [mm]A\vec{a}te^{-t}[/mm] dann kürze ich
> [mm]e^{-t}[/mm] und t selbst
> [mm]-\vec{a}[/mm] = [mm]A\vec{a}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} -a_{1} \\ -a_{2} \\ -a_{3} \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix}
9 & -10 & 10 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> So komme ich doch nicht auf [mm]\vec{a},[/mm] oder ?
>
> Ich schriebe mal noch meinen Koeffitientenvergleich mit den
> Konstanten auf:
> [mm]\vec{a}'e^{-t}[/mm] - [mm]\vec{b}e^{-t}[/mm] = [mm]\vec{b}e^{-t}A[/mm]
>
> Was habe ich falsch gemacht ?
Nichts, [mm]\vec{a}[/mm] ist doch EIgenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda=-1[/mm]
Gesucht wird ausserdem ein [mm]\vec{b}[/mm] für das gilt:
[mm]\left(A-\left(-1\right)E\right)\vec{b}=\vec{a}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 03.02.2015 | | Autor: | Bindl |
> Nichts, [mm]\vec{a}[/mm] ist doch EIgenvektor zum Eigenwert
> [mm]\lambda=-1[/mm]
>
> Gesucht wird ausserdem ein [mm]\vec{b}[/mm] für das gilt:
>
> [mm]\left(A-\left(-1\right)E\right)\vec{b}=\vec{a}[/mm]
Nimm es mir bitte nicht übel, nur stehe ich scheinbar komplett auf dem Schlauch.
Kannst du mir bitte zeigen, wie ich bei [mm] \begin{pmatrix} -a_{1} \\ -a_{2} \\ -a_{3} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}
9 & -10 & 10 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix} [/mm] auf [mm] \vec{a} [/mm] komme ?
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Hallo Bindl,
> > Nichts, [mm]\vec{a}[/mm] ist doch EIgenvektor zum Eigenwert
> > [mm]\lambda=-1[/mm]
> >
> > Gesucht wird ausserdem ein [mm]\vec{b}[/mm] für das gilt:
> >
> > [mm]\left(A-\left(-1\right)E\right)\vec{b}=\vec{a}[/mm]
>
> Nimm es mir bitte nicht übel, nur stehe ich scheinbar
> komplett auf dem Schlauch.
>
> Kannst du mir bitte zeigen, wie ich bei [mm]\begin{pmatrix} -a_{1} \\ -a_{2} \\ -a_{3} \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix}
9 & -10 & 10 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> auf [mm]\vec{a}[/mm] komme ?
Berechne den Kern von
[mm]\begin{pmatrix}
9-\left(-1\right) & -10 & 10 \\
0 & 0-\left(-1\right) & -1 \\
0 & 1 & -2-\left(-1\right)
\end{pmatrix}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Di 03.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also der Kern ist ja eig der Eigenvektor einer Matrix, oder ?
Also hätte ich da [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] & [mm] v_{1} [/mm] = 0
Also der Kern ist dann [mm] (0,1,1)^{T}.
[/mm]
Ist das nun [mm] \vec{a} [/mm] ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> also der Kern ist ja eig der Eigenvektor einer Matrix, oder
> ?
Der Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda=.1[/mm]
ist aus dem Kern zu wählen.
>
> Also hätte ich da [mm]v_{2}[/mm] = [mm]v_{3}[/mm] & [mm]v_{1}[/mm] = 0
> Also der Kern ist dann [mm](0,1,1)^{T}.[/mm]
>
> Ist das nun [mm]\vec{a}[/mm] ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 03.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Nun also [mm] (A-(-1)E)\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] -> (A + [mm] E)\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a}
[/mm]
[mm] 10b_{1} [/mm] - [mm] 10b_{2} [/mm] + [mm] 10b_{3} [/mm] = 0
[mm] 0b_{1} [/mm] + [mm] 1b_{2} [/mm] - [mm] 1b_{3} [/mm] = 1
[mm] 0b_{1} [/mm] + [mm] 1b_{2} [/mm] - [mm] 1b_{3} [/mm] = 1
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] b_{3} [/mm] + 1
[mm] 10b_{1} [/mm] - [mm] 10b_{3} [/mm] - 10 - [mm] 10b_{3} [/mm] = 0 -> [mm] b_{1} [/mm] = [mm] 2b_{3} [/mm] + 1
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] (3,2,1)^{T}
[/mm]
Ist das korrekt?
Muss ich nun folgendes berechnen:
x(t) = [mm] e^{\lambda_{1}t}EV_{1} [/mm] + [mm] e^{\lambda_{2}t}EV_{2} [/mm] + [mm] e^{\lambda_{1}t}(\vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b})
[/mm]
Oder wie habe ich nun mit den den beiden Vektoren a & b umzugehen ?
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Hallo Bindl,
> Nun also [mm](A-(-1)E)\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] -> (A + [mm]E)\vec{b}[/mm] =
> [mm]\vec{a}[/mm]
>
> [mm]10b_{1}[/mm] - [mm]10b_{2}[/mm] + [mm]10b_{3}[/mm] = 0
> [mm]0b_{1}[/mm] + [mm]1b_{2}[/mm] - [mm]1b_{3}[/mm] = 1
> [mm]0b_{1}[/mm] + [mm]1b_{2}[/mm] - [mm]1b_{3}[/mm] = 1
>
> [mm]b_{2}[/mm] = [mm]b_{3}[/mm] + 1
>
> [mm]10b_{1}[/mm] - [mm]10b_{3}[/mm] - 10 - [mm]10b_{3}[/mm] = 0 -> [mm]b_{1}[/mm] = [mm]2b_{3}[/mm] +
> 1
>
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]10b_{1}- 10b_{3} - 10 \blue{+}10b_{3} = 0[/mm]
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm](3,2,1)^{T}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
>
>
> Muss ich nun folgendes berechnen:
>
> x(t) = [mm]e^{\lambda_{1}t}EV_{1}[/mm] + [mm]e^{\lambda_{2}t}EV_{2}[/mm] +
> [mm]e^{\lambda_{1}t}(\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b})[/mm]
>
> Oder wie habe ich nun mit den den beiden Vektoren a & b
> umzugehen ?
Damit ergibt sich folgende Lösung:
[mm]\left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
zu [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] b_{3} [/mm] + 1 & [mm] b_{1} [/mm] = 1
[mm] b_{3} [/mm] wähle ich einfach 0
Dann ist [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] (1,1,0)^{T}
[/mm]
> Damit ergibt sich folgende Lösung:
>
> [mm]\left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t}[/mm]
>
[mm] \vec{a}*t+\vec{b} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ t \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 + t \\ t \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt muss ich nur noch folgendes berechen:
x(t) = [mm] e^{\lambda_{1}t}EV1 [/mm] + [mm] e^{\lambda_{2}t}EV2 [/mm] + [mm] e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 + t \\ t \end{pmatrix}
[/mm]
mit [mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 [mm] \lambda_{2} [/mm] = 9 und x(0) = [mm] (1,2,3)^{T}
[/mm]
Ist das richtig?
Kommt nicht so ganz richtig vor, nachdem ich jetzt mal durchgerechnet habe. Dann bekomme ich [mm] (1,2,3)^{T} [/mm] = [mm] (2,2,1)^{T}.
[/mm]
Was mache ich falsch ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> zu [mm]\vec{b}[/mm]
> [mm]b_{2}[/mm] = [mm]b_{3}[/mm] + 1 & [mm]b_{1}[/mm] = 1
> [mm]b_{3}[/mm] wähle ich einfach 0
>
> Dann ist [mm]\vec{b}[/mm] = [mm](1,1,0)^{T}[/mm]
>
> > Damit ergibt sich folgende Lösung:
> >
> > [mm]\left(\vec{a}*t+\vec{b}\right)*e^{-t}[/mm]
> >
>
> [mm]\vec{a}*t+\vec{b}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ t \\ t \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 + t \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt muss ich nur noch folgendes berechen:
>
> x(t) = [mm]e^{\lambda_{1}t}EV1[/mm] + [mm]e^{\lambda_{2}t}EV2[/mm] +
> [mm]e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 + t \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
Vor jeder Lösung muss noch eine Konstante stehen.
z.B.:
[mm]x(t) = \blue{c_{1}}e^{\lambda_{1}t}EV1 + \blue{c_{2}}e^{\lambda_{2}t}EV2 +
\blue{c_{3}}e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 + t \\ t \end{pmatrix}[/mm]
> mit [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 [mm]\lambda_{2}[/mm] = 9 und x(0) =
> [mm](1,2,3)^{T}[/mm]
>
> Ist das richtig?
>
Ja.
> Kommt nicht so ganz richtig vor, nachdem ich jetzt mal
> durchgerechnet habe. Dann bekomme ich [mm](1,2,3)^{T}[/mm] =
> [mm](2,2,1)^{T}.[/mm]
>
> Was mache ich falsch ?
Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Bindl |
> Vor jeder Lösung muss noch eine Konstante stehen.
>
> z.B.:
>
> [mm]x(t) = \blue{c_{1}}e^{\lambda_{1}t}EV1 + \blue{c_{2}}e^{\lambda_{2}t}EV2 +
\blue{c_{3}}e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 + t \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
Muss ich nun aus x(t) = [mm] \blue{c_{1}}e^{\lambda_{1}t}EV1 [/mm] mit [mm] \lambda_{1} [/mm] und x(0) = [mm] (1,2,3)^{T} \blue{c_{1}} [/mm] berechnen ?
Das ganze dann natürlich auf die gleiche Art für [mm] \blue{c_{2}} [/mm] & [mm] \blue{c_{3}} [/mm] denke ich mal.
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Hallo BIndl,
> > Vor jeder Lösung muss noch eine Konstante stehen.
> >
> > z.B.:
> >
> > [mm]x(t) = \blue{c_{1}}e^{\lambda_{1}t}EV1 + \blue{c_{2}}e^{\lambda_{2}t}EV2 +
\blue{c_{3}}e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 + t \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
>
> Muss ich nun aus x(t) = [mm]\blue{c_{1}}e^{\lambda_{1}t}EV1[/mm] mit
> [mm]\lambda_{1}[/mm] und x(0) = [mm](1,2,3)^{T} \blue{c_{1}}[/mm] berechnen
> ?
>
> Das ganze dann natürlich auf die gleiche Art für
> [mm]\blue{c_{2}}[/mm] & [mm]\blue{c_{3}}[/mm] denke ich mal.
Berechne x(0) mit Hilfe der ermittelten Lösung
und vergleiche dies dann mit der Anfangsbedingung
und berechne daraus die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}, \ c_{3}[/mm].
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
da [mm] e^{\lambda_{1}t}, e^{\lambda_{2}t} [/mm] & [mm] e^{-t} [/mm] bei x(0) immer 1 ergibt kann ich es es weglassen.
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ c_{1} \\ c_{1} \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} c_{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} c_{3} \\ c_{3} \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Also [mm] c_{1} [/mm] = 3, [mm] c_{2} [/mm] = 2 & [mm] c_{3} [/mm] = -1
Dann ist die Lösung x(t) = [mm] 3e^{-t}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] 2e^{9t}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 + t \\ t \end{pmatrix}, [/mm] oder ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> da [mm]e^{\lambda_{1}t}, e^{\lambda_{2}t}[/mm] & [mm]e^{-t}[/mm] bei x(0)
> immer 1 ergibt kann ich es es weglassen.
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ c_{1} \\ c_{1} \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\begin{pmatrix} c_{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\begin{pmatrix} c_{3} \\ c_{3} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Also [mm]c_{1}[/mm] = 3, [mm]c_{2}[/mm] = 2 & [mm]c_{3}[/mm] = -1
>
> Dann ist die Lösung x(t) = [mm]3e^{-t}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]2e^{9t}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] -
> [mm]e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 + t \\ t \end{pmatrix},[/mm] oder ?
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Puh, das war einer meiner schwersten Geburten.
Danke für die zahlreiche Hilfe.
Vielleicht kannst du mir ja noch bei Aufagebteil a) http://www.matheforum.net/read?i=1051013 helfen.
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> Habe ich dann mal an die Determinanten und Eigenvektoren
> gewagt.
>
> (A - [mm]\lambda[/mm] E) = [mm]\begin{pmatrix}
9-\lambda & -10 & 10 \\
0 & -\lambda & -1 \\
0 & 0 & -2-\lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> det(A - [mm]\lambda[/mm] E) = [mm]-\lambda^{3}[/mm] + [mm]7\lambda^{2}[/mm] +
> [mm]17\lambda[/mm] + 9
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 & [mm]\lambda_{2}[/mm] = 9
>
wie kommst du auf diese Determinante?
ich komm immer auf: [mm] (9-\lambda) [/mm] * [mm] (-\lambda) [/mm] * [mm] (-2-\lambda) [/mm] = [mm] (-9\lambda+\lambda^2) [/mm] * [mm] (-2-\lambda) [/mm] = [mm] -\lambda³ [/mm] + [mm] 7\lambda^2 +18\lambda
[/mm]
hab ich da nen deckfehler drinne?
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Hallo PhillyEagles,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > Habe ich dann mal an die Determinanten und
> Eigenvektoren
> > gewagt.
> >
> > (A - [mm]\lambda[/mm] E) = [mm]\begin{pmatrix}
9-\lambda & -10 & 10 \\
0 & -\lambda & -1 \\
0 & 0 & -2-\lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > det(A - [mm]\lambda[/mm] E) = [mm]-\lambda^{3}[/mm] + [mm]7\lambda^{2}[/mm] +
> > [mm]17\lambda[/mm] + 9
> >
> > [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 & [mm]\lambda_{2}[/mm] = 9
> >
>
> wie kommst du auf diese Determinante?
> ich komm immer auf: [mm](9-\lambda)[/mm] * [mm](-\lambda)[/mm] *
> [mm](-2-\lambda)[/mm] = [mm](-9\lambda+\lambda^2)[/mm] * [mm](-2-\lambda)[/mm] =
> [mm]-\lambda³[/mm] + [mm]7\lambda^2 +18\lambda[/mm]
>
> hab ich da nen deckfehler drinne?
Die zu betrachtende Matrix lautet doch:
[mm](A - \lambda E) = \begin{pmatrix}
9-\lambda & -10 & 10 \\
0 & -\lambda & -1 \\
0 & \blue{1} & -2-\lambda
\end{pmatrix}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
nun komme ich mal zu Aufgabe a).
Ich habe für eine inhomogene DGL in Vektordarstellung folgenden Ansatz:
x(t) = [mm] e^{At}x_{0} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{e^{A(t-\tau)}b(\tau) d\tau}
[/mm]
Nun muss ich sagen das ich das ganze jedoch nicht wirklich richtig einzusetzen weiß.
x(t) = [mm] e^{At}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{e^{A(t-\tau)}\begin{pmatrix} e^{-4\tau} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}d\tau}
[/mm]
Nur was ist hier [mm] e^{At} [/mm] und vor allem was ist [mm] e^{A(t-\tau)}.
[/mm]
Ich weiß nur das [mm] \tau [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] ist. Glaube ich zumindest.
Ich hoffe mir kann jemand auf die Sprünge helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mo 02.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> nun komme ich mal zu Aufgabe a).
>
> Ich habe für eine inhomogene DGL in Vektordarstellung
> folgenden Ansatz:
>
> x(t) = [mm]e^{At}x_{0}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{t}{e^{A(t-\tau)}b(\tau) d\tau}[/mm]
>
> Nun muss ich sagen das ich das ganze jedoch nicht wirklich
> richtig einzusetzen weiß.
>
> x(t) = [mm]e^{At}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{t}{e^{A(t-\tau)}\begin{pmatrix} e^{-4\tau} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}d\tau}[/mm]
>
> Nur was ist hier [mm]e^{At}[/mm]
[mm] e^{tA}=e^{At}= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{t^nA^n}{n!}
[/mm]
> und vor allem was ist
> [mm]e^{A(t-\tau)}.[/mm]
[mm] e^{(t-\tau)A}=e^{A(t-\tau)}= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(t-\tau)^nA^n}{n!}.
[/mm]
> Ich weiß nur das [mm]\tau[/mm] = [mm]2\pi[/mm] ist.
Manchmal weiß man Sachen die gar nicht stimmen ....
> Glaube ich zumindest.
Ich nicht. [mm] $\tau= [/mm] 2 [mm] \pi$ [/mm] ist doch Humbug, denn [mm] \tau [/mm] ist die Integrationsvariable in
$ [mm] \integral_{0}^{t}{e^{A(t-\tau)}b(\tau) d\tau} [/mm] $
Es ist
$ [mm] \integral_{0}^{t}{e^{A(t-\tau)}b(\tau) d\tau}=e^{At} \integral_{0}^{t}{e^{- \tau A}b(\tau) d\tau} [/mm] $
FRED
>
> Ich hoffe mir kann jemand auf die Sprünge helfen.
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
dann streiche ich [mm] \tau [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] ganz schnell wieder.
Also habe ich nun folgendes zu berechnen:
x(t) = [mm] e^{At}x_{0} [/mm] + [mm] e^{At}\integral_{0}^{t}{e^{-\tau A}b(\tau) d\tau}
[/mm]
[mm] e^{At}x_{0} [/mm] fällt ja nicht weg, da [mm] x_{0} [/mm] ja nicht [mm] (0,0,0)^{T}. [/mm] Sehe ich doch richtig, oder ?
Nur weiß ich nun immer noch nicht wie ich nun eigentlich weiter zu machen habe.
[mm] b(\tau) [/mm] ist klar. Statt t habe ich [mm] \tau [/mm] und fertig.
Nur ich muss [mm] b(\tau) [/mm] ja mit [mm] e^{-\tau A} [/mm] multiplizieren und das Ergebnis dann zu integrieren. Nur was ist [mm] e^{At} [/mm] und [mm] e^{-\tau A} [/mm] ?
Ist [mm] e^{At} [/mm] = [mm] exp(\begin{pmatrix}
-6 & -4 & 4 \\
2 & 0 & -1 \\
-6 & -6 & 5
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] exp(\begin{pmatrix} (-6)t+(-4)t+4t \\ 2t-t \\ (-6)t+(-6)t+5t \end{pmatrix}) [/mm] ?
Ich tue mich bei DGL`s mit Vektoren echt schwer. Hoffentlich kann mir jemand helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 02.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> dann streiche ich [mm]\tau[/mm] = [mm]2\pi[/mm] ganz schnell wieder.
>
> Also habe ich nun folgendes zu berechnen:
>
> x(t) = [mm]e^{At}x_{0}[/mm] + [mm]e^{At}\integral_{0}^{t}{e^{-\tau A}b(\tau) d\tau}[/mm]
>
> [mm]e^{At}x_{0}[/mm] fällt ja nicht weg, da [mm]x_{0}[/mm] ja nicht
> [mm](0,0,0)^{T}.[/mm] Sehe ich doch richtig, oder ?
Das siehst Du richtig.
>
> Nur weiß ich nun immer noch nicht wie ich nun eigentlich
> weiter zu machen habe.
> [mm]b(\tau)[/mm] ist klar. Statt t habe ich [mm]\tau[/mm] und fertig.
> Nur ich muss [mm]b(\tau)[/mm] ja mit [mm]e^{-\tau A}[/mm] multiplizieren und
> das Ergebnis dann zu integrieren. Nur was ist [mm]e^{At}[/mm] und
> [mm]e^{-\tau A}[/mm] ?
>
> Ist [mm]e^{At}[/mm] = [mm]exp(\begin{pmatrix}
-6 & -4 & 4 \\
2 & 0 & -1 \\
-6 & -6 & 5
\end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]exp(\begin{pmatrix} (-6)t+(-4)t+4t \\ 2t-t \\ (-6)t+(-6)t+5t \end{pmatrix})[/mm]
> ?
Das ist doch Unfug. In [mm] e^{tA} [/mm] ist t [mm] \in \IR. [/mm] Was habe ich Dir erzählt, wie [mm] e^{tA} [/mm] def. ist ?????
FRED
>
> Ich tue mich bei DGL's mit Vektoren echt schwer.
> Hoffentlich kann mir jemand helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
sorry. Die Def. habe ich übersehen.
Ich gehe davon aus das [mm] e^{-\tau A} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-\tau)^{n}*A^{n}}{n!} [/mm] ist.
Also muss ich x(t) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{t^{n}*A^{n}}{n!}*x_{0} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{t^{n}*A^{n}}{n!} \integral_{0}^{t}{\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-\tau)^{n}*A^{n}}{n!} * b(\tau) d\tau} [/mm] berechnen.
Kann mir jemand zeigen wie man [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{t^{n}*A^{n}}{n!} [/mm] berechnet in diesem Fall ?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich versuche mal einen Ansatz zu [mm] e^{At}
[/mm]
At = [mm] \begin{pmatrix}
-6t & -4t & 4t \\
2t & 0 & -t \\
-6t & -6t & 5t
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] e^{At} [/mm] = E + At + [mm] \bruch{1}{2!}(At)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!}(At)^{3}
[/mm]
Ist da richtig ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Di 03.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Kann mir niemand helfen ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> ich versuche mal einen Ansatz zu [mm]e^{At}[/mm]
>
> At = [mm]\begin{pmatrix}
-6t & -4t & 4t \\
2t & 0 & -t \\
-6t & -6t & 5t
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]e^{At}[/mm] = E + At + [mm]\bruch{1}{2!}(At)^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3!}(At)^{3}[/mm]
>
> Ist da richtig ?
Das ist die Definitiion der Matrixexponentialfunktion,
die Du schon angegeben hattest.
Für eine geeignetere Darstellung von A siehe hier.
Gruss
MathePower
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> sorry. Die Def. habe ich übersehen.
>
> Ich gehe davon aus das [mm]e^{-\tau A}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-\tau)^{n}*A^{n}}{n!}[/mm] ist.
>
> Also muss ich x(t) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{t^{n}*A^{n}}{n!}*x_{0}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{t^{n}*A^{n}}{n!} \integral_{0}^{t}{\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-\tau)^{n}*A^{n}}{n!} * b(\tau) d\tau}[/mm]
> berechnen.
>
> Kann mir jemand zeigen wie man
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{t^{n}*A^{n}}{n!}[/mm] berechnet in
> diesem Fall ?
>
Finde zunächst eine spezielle Darstellung von A,
um deren Potenzen auszurechnen.
Eine geeignete Darstellung von A ist z.B:
[mm]A=SDS^{-1}[/mm]
,wobei S die Matrix aus den Eigenvektoren zu den Eigenwerten von A ist,
und D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A auf der Diagonalen.
Dann gilt:
[mm]A^{n}=SD^{n}S^{-1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Di 03.02.2015 | | Autor: | Bindl |
> Finde zunächst eine spezielle Darstellung von A,
> um deren Potenzen auszurechnen.
>
> Eine geeignete Darstellung von A ist z.B:
>
> [mm]A=SDS^{-1}[/mm]
>
> ,wobei S die Matrix aus den Eigenvektoren zu den
> Eigenwerten von A ist,
Ich bin am verzweifeln.
Ich berechne erstmal [mm] det(A-\lambdaE) [/mm] = [mm] -\lambda^{3} [/mm] - [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 16\lambda [/mm] - 164
Wenn ich das gleich 0 und mal (-1) rechne bekomme ich keine Eigenwerte.
Beim Onlinerechner von Arndt Brünner bekomme ich die Determinante 4.
Was mache ich falsch ?
> und D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A auf
> der Diagonalen.
Ist D = [mm] \begin{pmatrix}
\lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3}
\end{pmatrix} [/mm] ?
Nur habe ich ja leider keine Eigenwerte [mm] \lambda_{1-3}.
[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> [mm]A^{n}=SD^{n}S^{-1}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Bindl,
> > Finde zunächst eine spezielle Darstellung von A,
> > um deren Potenzen auszurechnen.
> >
> > Eine geeignete Darstellung von A ist z.B:
> >
> > [mm]A=SDS^{-1}[/mm]
> >
> > ,wobei S die Matrix aus den Eigenvektoren zu den
> > Eigenwerten von A ist,
>
> Ich bin am verzweifeln.
> Ich berechne erstmal [mm]det(A-\lambdaE)[/mm] = [mm]-\lambda^{3}[/mm] -
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]16\lambda[/mm] - 164
>
> Wenn ich das gleich 0 und mal (-1) rechne bekomme ich keine
> Eigenwerte.
>
> Beim Onlinerechner von Arndt Brünner bekomme ich die
> Determinante 4.
>
> Was mache ich falsch ?
>
Das charakteristische Polynom stimmt nicht.
Genauer ist das der lineare und der konstante Koeffizient.
> > und D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A auf
> > der Diagonalen.
>
> Ist D = [mm]\begin{pmatrix}
\lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3}
\end{pmatrix}[/mm]
> ?
>
> Nur habe ich ja leider keine Eigenwerte [mm]\lambda_{1-3}.[/mm]
>
> >
> > Dann gilt:
> >
> > [mm]A^{n}=SD^{n}S^{-1}[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Di 03.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
det(A - [mm] \lambdaE) [/mm] = [mm] -\lambda^3 [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] 4\lambda [/mm] + 4
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -2 [mm] \lambda_{2} [/mm] = -1 [mm] \lambda_{3} [/mm] = 2
Eigenvektoren:
Ich schreibe das ganze mal etwas zusammengefasst auf. Hoffe es stimmt.
EV1:
[mm] v_{1} [/mm] = - [mm] v_{2} [/mm] & [mm] v_{3} [/mm] = 0 -> EV1 = [mm] (1,-1,0)^{T}
[/mm]
EV2:
[mm] v_{1} [/mm] = 0 & [mm] v_{3} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] -> EV2 = [mm] (0,1,1)^{T}
[/mm]
EV3:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}v_{2} [/mm] & [mm] v_{3} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}v_{2} [/mm] -> EV3 = [mm] (3,-2,4)^{T}. [/mm] Vielleicht kann man hier bessere Werte wählen.
S = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \\
-1 & 1 & -2 \\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix} S^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
4/3 & 4/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 1/3
\end{pmatrix} [/mm] D = [mm] \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Ist das soweit richtig ?
Wenn ja, was habe ich denn nun weiter zu machen ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> det(A - [mm]\lambdaE)[/mm] = [mm]-\lambda^3[/mm] - [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]4\lambda[/mm] + 4
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = -2 [mm]\lambda_{2}[/mm] = -1 [mm]\lambda_{3}[/mm] = 2
>
> Eigenvektoren:
> Ich schreibe das ganze mal etwas zusammengefasst auf.
> Hoffe es stimmt.
>
> EV1:
> [mm]v_{1}[/mm] = - [mm]v_{2}[/mm] & [mm]v_{3}[/mm] = 0 -> EV1 = [mm](1,-1,0)^{T}[/mm]
>
> EV2:
> [mm]v_{1}[/mm] = 0 & [mm]v_{3}[/mm] = [mm]v_{2}[/mm] -> EV2 = [mm](0,1,1)^{T}[/mm]
>
> EV3:
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}v_{2}[/mm] & [mm]v_{3}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}v_{2}[/mm]
> -> EV3 = [mm](3,-2,4)^{T}.[/mm] Vielleicht kann man hier bessere
> Werte wählen.
>
> S = [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \\
-1 & 1 & -2 \\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix} S^{-1}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
4/3 & 4/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 1/3
\end{pmatrix}[/mm]
> D = [mm]\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig ?
Der 3. Eigenvektor (EV3) stimmt nicht.
> Wenn ja, was habe ich denn nun weiter zu machen ?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Di 03.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Zu EV3:
Ich hatte oben links in der Matrix 8 statt -8:
[mm] v_{2}=0 [/mm] & [mm] v_{3}=2v_{1} [/mm] -> EV3 = [mm] (2,0,1)^{T}
[/mm]
Richtig ?
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Hallo Bindl,
> Zu EV3:
> Ich hatte oben links in der Matrix 8 statt -8:
> [mm]v_{2}=0[/mm] & [mm]v_{3}=2v_{1}[/mm] -> EV3 = [mm](2,0,1)^{T}[/mm]
>
> Richtig ?
Andersrum: EV3 = [mm](\blue{1},0,\blue{2})^{T}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Di 03.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Nun habe ich,
S = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix} S^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{pmatrix} [/mm] D = [mm] \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Nur wie habe ich denn jetzt weiter zu rechnen um das eigentlich Problem zu lösen?
x(t) = [mm] e^{At} x_{0} [/mm] + [mm] e^{At} \integral_{0}^{t}{e^{-\tau A}b(\tau) d\tau}
[/mm]
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Hallo Bindl,
> Nun habe ich,
> S = [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix} S^{-1}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
> D = [mm]\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Nur wie habe ich denn jetzt weiter zu rechnen um das
> eigentlich Problem zu lösen?
>
Jetzt musst Du bei der Berechnung der
Matrixpotenzen von A eine Systematik erkennen.
> x(t) = [mm]e^{At} x_{0}[/mm] + [mm]e^{At} \integral_{0}^{t}{e^{-\tau A}b(\tau) d\tau}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Bindl |
> Jetzt musst Du bei der Berechnung der
> Matrixpotenzen von A eine Systematik erkennen.
exp(A) = S * exp(D) * [mm] S^{-1}
[/mm]
Das ergibt dann [mm] e^{A}. [/mm] Dann muss ich das nur noch mit t bzw. [mm] \tau [/mm] multiplizerien. Dann kann ich das Integral berechnen und ich habe x(t).
Ist das richtig ?
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Hallo Bindl,
> > Jetzt musst Du bei der Berechnung der
> > Matrixpotenzen von A eine Systematik erkennen.
>
> exp(A) = S * exp(D) * [mm]S^{-1}[/mm]
>
> Das ergibt dann [mm]e^{A}.[/mm] Dann muss ich das nur noch mit t
> bzw. [mm]\tau[/mm] multiplizerien. Dann kann ich das Integral
> berechnen und ich habe x(t).
>
> Ist das richtig ?
Korrekt ist:
[mm]exp(\blue{t}A) = S * exp(\blue{t}D) * S^{-1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 05.02.2015 | | Autor: | Bindl |
> Korrekt ist:
>
> [mm]exp(\blue{t}A) = S * exp(\blue{t}D) * S^{-1}[/mm]
>
Noch eine kleine Zwischenfrage:
tD ist [mm] \begin{pmatrix} -2t \\ t \\ 2t \end{pmatrix} [/mm] oder [mm] \begin{pmatrix}
-2t & 0 & 0 \\
0 & t & 0 \\
0 & 0 & 2t
\end{pmatrix} [/mm] ?
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Hallo Bindl,
> > Korrekt ist:
> >
> > [mm]exp(\blue{t}A) = S * exp(\blue{t}D) * S^{-1}[/mm]
> >
> Noch eine kleine Zwischenfrage:
>
> tD ist [mm]\begin{pmatrix} -2t \\ t \\ 2t \end{pmatrix}[/mm] oder
> [mm]\begin{pmatrix}
-2t & 0 & 0 \\
0 & t & 0 \\
0 & 0 & 2t
\end{pmatrix}[/mm] ?
>
Korrekt ist:
[mm]tD=\begin{pmatrix}
-2t & 0 & 0 \\
0 & \blue{-}t & 0 \\
0 & 0 & 2t
\end{pmatrix}[/mm]
Gruss
MathePower
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