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| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:01 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Shizo |
| Aufgabe 1 | Aufgabe a) Man löse die folgenden Gleichungen
1. [mm] 3e^{2x}-2e^{x}=1 [/mm] |
| Aufgabe 2 | | 2. ln(2x+1)-3=ln(x+5) |
Möchte meine Lösungen gerne abgesegnet haben. Bedanke mich schon mal im voraus für Eure Mühe.
Zu Aufgabe 1:
[mm] 3e^{2x}-2e^{x}=1
[/mm]
[mm] 3e^{x}^{2}-2e^{x}=1 [/mm] für [mm] X=e^{x} [/mm] (diesen Schritt habe ich der Vorlesung entnommen)
[mm] 3X^{2}-2X-1=0 [/mm]
[mm] X^{2}-\bruch{2}{3}X-\bruch{1}{3}=0
[/mm]
An dieser Stelle pq-Formel:
[mm] X_{1/2}=-\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{1}{9})+1} [/mm] daraus folgt...
[mm] X_{1}=\bruch{-1-\wurzel{10}}{3} [/mm] und [mm] X_{2}=\bruch{-1+\wurzel{10}}{3}
[/mm]
Für [mm] X_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-1-\wurzel{10}}{3} \Rightarrow e^{x} [/mm] = [mm] ln\bruch{-1-\wurzel{10}}{3}
[/mm]
Für [mm] X_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-1+\wurzel{10}}{3} \Rightarrow e^{x} [/mm] = [mm] ln\bruch{-1+\wurzel{10}}{3}
[/mm]
[mm] \IL={(ln\bruch{-1-\wurzel{10}}{3},ln\bruch{-1+\wurzel{10}}{3})}
[/mm]
Zu Aufgabe 2:
ln(2x+1)-3=ln(x+5)
ln(2x+1)-ln(x+5)=3 | Logarithmengesetz: [mm] \bruch{x}{y}=lnx-lny
[/mm]
[mm] \bruch{ln(2x+1)}{ln(x+5)}=3 [/mm] | e
[mm] e^{\bruch{ln(2x+1)}{ln(x+5)}}=e^{3} [/mm] | e und ln heben sich auf
[mm] \bruch{(2x+1)}{(x+5)}= e^{3} [/mm] | *(x+5)
[mm] (2x+1)=e^{3}*(x+5) \gdw (2x+1)=xe^{3}+5e^{3}
[/mm]
[mm] 2x-x^{3}=5e^{3}-1 [/mm] | x ausklammern
[mm] x(2-e^{3})=5e^{3}-1
[/mm]
[mm] x=\bruch{5e^{3}-1}{2-e^{3}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Adamantin |
> Aufgabe a) Man löse die folgenden Gleichungen
>
> 1. [mm]3e^{2x}-2e^{x}=1[/mm]
> 2. ln(2x+1)-3=ln(x+5)
> Möchte meine Lösungen gerne abgesegnet haben. Bedanke
> mich schon mal im voraus für Eure Mühe.
>
> Zu Aufgabe 1:
>
> [mm]3e^{2x}-2e^{x}=1[/mm]
>
> [mm]3e^{x}^{2}-2e^{x}=1[/mm] für [mm]X=e^{x}[/mm] (diesen
> Schritt habe ich der Vorlesung entnommen)
>
> [mm]3X^{2}-2X-1=0[/mm]
>
> [mm]X^{2}-\bruch{2}{3}X-\bruch{1}{3}=0[/mm]
>
> An dieser Stelle pq-Formel:
>
> [mm]X_{1/2}=-\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{1}{9})+1}[/mm] daraus
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Achtung, es heißt -p/2, also wären es hier +1/3. Auch stimmt deine +1 hinten nicht. Es heißt doch unter der Wurzel: [mm] (p/2)^2-q [/mm] und q ist bei der -1/3, also müsste dort + 1/3 stehen...
> folgt...
>
> [mm]X_{1}=\bruch{-1-\wurzel{10}}{3}[/mm] und
> [mm]X_{2}=\bruch{-1+\wurzel{10}}{3}[/mm]
>
> Für [mm]X_{1}[/mm] = [mm]\bruch{-1-\wurzel{10}}{3} \Rightarrow e^{x}[/mm]
> = [mm]ln\bruch{-1-\wurzel{10}}{3}[/mm]
Aua, aua....du solltest mal die Probe deiner Lösungen machen. Kannst du mit dem Taschenrechner ln(a) berechnen, wenn a < 0 ? Du hast im Zähler [mm] -1-\wurzel{10} [/mm] stehen und das ist garantiert kleiner als 0. Damit hättest du eine nicht definierte Lösung!
>
>
> Für [mm]X_{2}[/mm] = [mm]\bruch{-1+\wurzel{10}}{3} \Rightarrow e^{x}[/mm]
> = [mm]ln\bruch{-1+\wurzel{10}}{3}[/mm]
>
> [mm]\IL={(ln\bruch{-1-\wurzel{10}}{3},ln\bruch{-1+\wurzel{10}}{3})}[/mm]
>
Ich rate dir zu folgendem Vorgehen:
Rechne nochmal mit richtigen Vorzeichen ;)
>
> Zu Aufgabe 2:
>
> ln(2x+1)-3=ln(x+5)
>
> ln(2x+1)-ln(x+5)=3 | Logarithmengesetz:
> [mm]\bruch{x}{y}=lnx-lny[/mm]
>
> [mm]\bruch{ln(2x+1)}{ln(x+5)}=3[/mm] | e
>
> [mm]e^{\bruch{ln(2x+1)}{ln(x+5)}}=e^{3}[/mm] | e und ln heben
> sich auf
>
> [mm]\bruch{(2x+1)}{(x+5)}= e^{3}[/mm] | *(x+5)
>
> [mm](2x+1)=e^{3}*(x+5) \gdw (2x+1)=xe^{3}+5e^{3}[/mm]
>
> [mm]2x-x^{3}=5e^{3}-1[/mm] | x ausklammern
>
> [mm]x(2-e^{3})=5e^{3}-1[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{5e^{3}-1}{2-e^{3}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") dir ist unterwegs nur ein Schusselfehler passiert, es muss [mm] xe^3 [/mm] heißen und nicht [mm] x^3 [/mm] in der dritten Zeilen von unten, ansonsten korrekt.
ABER prüfe ob dies ein Ergebnis sein kann, denn dein Ergebnis ist ungefähr -5,5. Kannst du das in ln einsetzen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Shizo |
Ja, ich muss gestehen, war wirklicher Mist. Aber dafür wollte ich es ja abgesegnet haben!!! =)
[mm] X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{1}{9})+\bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{12}{27})}
[/mm]
[mm] X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] X_{1}=-\bruch{1}{3} [/mm] ; [mm] X_{2}=1
[/mm]
D.h. meine Lösungsmenge würde lauten:
[mm] \IL=(0)
[/mm]
Das mit der negativen Seite hatte ich mir doch schon fast gedacht. War mir dessen aber nicht sicher! Danke für den Hinweis.
Was [mm] 2x-x^{3}=5e^{3}-1 [/mm] angeht. Hmm, da hat wohl die Taste e blockiert. =)
Vielen Dank nochmals für die Korrektur!!!
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Hallo Shizo,
> Ja, ich muss gestehen, war wirklicher Mist. Aber dafür
> wollte ich es ja abgesegnet haben!!! =)
>
> [mm]X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{1}{9})+\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> [mm]X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{12}{27})}[/mm]
>
> [mm]X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]X_{1}=-\bruch{1}{3}[/mm] ; [mm]X_{2}=1[/mm]
>
> D.h. meine Lösungsmenge würde lauten:
>
> [mm]\IL=(0)[/mm]
Wenn du damit die Menge, die [mm]x=0[/mm] enthält meinst, dann ja!
[mm]\IL=\{0\}[/mm]
>
> Das mit der negativen Seite hatte ich mir doch schon fast
> gedacht. War mir dessen aber nicht sicher! Danke für den
> Hinweis.
>
>
> Was [mm]2x-x^{3}=5e^{3}-1[/mm] angeht. Hmm, da hat wohl die Taste e
> blockiert. =)
>
> Vielen Dank nochmals für die Korrektur!!!
Gruß
schachuzipus
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