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| Aufgabe | | (p->q) $ [mm] \wedge [/mm] $ (q->r) [mm] \Rightarrow [/mm] (p->r) |
Wer kann mir diese Aufgabe lösen?
Ich hänge da schon einige Zeit dran und komm nicht weiter.
Wenn mir eine diese Aufgabe evt. mit Erklärung lösen kann, komme ich bestimmt weiter und kann mir die restlichen Aufgaben selbst erschließen und lösen, daher habe ich sie erstmal nicht hier gepostet.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (p->q) [mm]\wedge[/mm] (q->r) [mm]\Rightarrow[/mm] (p->r)
> Wer kann mir diese Aufgabe lösen?
> Ich hänge da schon einige Zeit dran und komm nicht
> weiter.
probiere es doch mal über eine Wahrheitstabelle, oder benutze
$$ s [mm] \rightarrow [/mm] t := [mm] \neg [/mm] s [mm] \vee [/mm] t [mm] \;\;\;\big(=(\neg [/mm] s) [mm] \vee t\big)\,.$$
[/mm]
Also
$$(p [mm] \rightarrow [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] (q [mm] \rightarrow r)=\big(\neg [/mm] p [mm] \vee q\big) \wedge \big(\neg [/mm] q [mm] \vee r\big)\,.$$
[/mm]
Das kann man (mit gewissen Rechenregeln wie $u [mm] \wedge [/mm] (v [mm] \vee [/mm] w)=(u [mm] \wedge [/mm] v) [mm] \vee [/mm] (u [mm] \wedge [/mm] w)$ etc.) umschreiben zu
[mm] $$=\Big(\big(\neg [/mm] p [mm] \vee q\big) \wedge \neg q\Big) \vee \Big(\big(\neg [/mm] p [mm] \vee q\big) \wedge r\Big)\,.$$
[/mm]
was sich wegen [mm] $\neg [/mm] q [mm] \wedge [/mm] q=0$ (bzw. [mm] $=\text{false}$) [/mm] weiter umschreiben läßt zu
[mm] $$=\big(\neg [/mm] p [mm] \wedge \neg q\big) \vee \big(\neg [/mm] p [mm] \wedge r\big) \vee \big(q \wedge r\big)=\ldots$$
[/mm]
Du musst das nun weiter umformen, bis Du zu [mm] $\neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] r$ gelangst.
Edit: Der letzte Satz ist missverständlich. Am Ende dieser Gleichungskette soll [mm] $\neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] r$ in dem Endterm "enthalten" sein.
Anderes Beispiel, damit Du siehst, was ich meine:
$A [mm] \leftrightarrow B$ $\Rightarrow$ $A \Rightarrow B\,.$
Hier gilt
$$A \leftrightarrow B=\blue{(\neg A \vee B)} \wedge (\neg B \vee A)\,,$$
die rechte Seite "enthält" daher offensichtlich $\blue{A \rightarrow B}\,.$ Wobei das Bsp. trivial ist nach Definition von $\wedge$ und $\leftrightarrow$...
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:57 Mi 08.07.2009 | | Autor: | JohnBoyLL |
Mit einer Wahrheitstabelle habe ich es soweit auch schon versucht und meiner Meinung nach hinbekommen - bin mir aber nicht sicher.
Kann man hier Wahrheitstabellen einfügen?
Dann könnte ich meine überprüfen, ob sie richtig ist.
Leider soll die Aufgabe nicht durch eine eine Wahrheitstabelle gelöst werden und deiner Rechnung kann ich nicht ganz folgen.
Wie komme ich denn im letzten Schritt zu [mm] \neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] r ??
Evt. durch eine Umformungsregel die ich noch nicht kenne?
Wäre sehr dankbar, wenn du mir da auch nochmal auf die Sprünge helfen könntest
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mit einer Wahrheitstabelle habe ich es soweit auch schon
> versucht und meiner Meinung nach hinbekommen - bin mir aber
> nicht sicher.
>
> Kann man hier Wahrheitstabellen einfügen?
> Dann könnte ich meine überprüfen, ob sie richtig ist.
>
> Leider soll die Aufgabe nicht durch eine eine
> Wahrheitstabelle gelöst werden und deiner Rechnung kann
> ich nicht ganz folgen.
>
> Wie komme ich denn im letzten Schritt zu [mm]\neg[/mm] p [mm]\vee[/mm] r ??
Du musst schon ein wenig selbst weiterrechnen und versuchen, darauf zu kommen. Generell bietet sich bei solchen Rechnungen an:
[mm] $\bullet$ [/mm] de Morgansche Regeln wie [mm] $\neg(a \vee b)=\neg [/mm] a [mm] \wedge \neg [/mm] b$
[mm] $\bullet$ [/mm] $a [mm] \vee [/mm] (b [mm] \wedge [/mm] c)= (a [mm] \vee [/mm] b) [mm] \wedge [/mm] (a [mm] \vee [/mm] c)$
[mm] $\bullet$ [/mm] $a [mm] \vee \neg [/mm] a=1$ (bzw. [mm] $=\text{true}$)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $a [mm] \wedge \neg [/mm] a=0$ (bzw. [mm] $=\text{false}$)
[/mm]
Folgerungen daraus, z.B.
$$a [mm] \wedge (\neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b)=(a [mm] \wedge \neg [/mm] a) [mm] \vee [/mm] (a [mm] \wedge b)=a\wedge [/mm] b$$
etc.
P.S.:
Wahrheitstabellen kannst Du durchaus einfach als Matrizen schreiben:
[mm] $$\pmat{\blue{p} & \blue{q} & \blue{r}& \substack{\blue{p \rightarrow q\\(\text{bzw. } \neg p \vee q)}} & \substack{\blue{q \rightarrow r\\(\text{bzw. } \neg q \vee r)}} & \substack{\blue{p \rightarrow r\\(\text{bzw. } \neg p \vee r)}} \\ .&.& .&.&.&.\\ .&.& .&.&.&.\\ .&.& .&.&.&.\\ }$$
[/mm]
und dann [mm] $\text{true}=\text{wahr}=1$ [/mm] und [mm] $\text{false}=\text{falsch}=0$ [/mm] für die entsprechenden Einträge benutzen.
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | | [mm] \vmat{ p q r & p ->q & \wedge & q->r & \Rightarrow & p->r\\ www & w & w & w &w &w \\ wwf & w & f & f & w & f \\ wff & f & f& w & w& &f \\ fww & w & w & w & w &w \\ ffw & w & w &w & w&w \\ fwf &w & f & f &w & w \\ wfw & f & f &w & w &w \\ fff & w & w & w & w& w&} [/mm] |
Wäre dann eine Tautologie, richtig?
Kannst du nochmal drüber gucken und sagen ob das soweit richtig ist und evt. nochmal beim Beweis helfen?
Besten Dank
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Hallo JohnBoyLL,
> [mm]\vmat{ p q r & p ->q & \wedge & q->r & \Rightarrow & p->r\\ www & w & w & w &w &w \\ wwf & w & f & f & w & f \\ wff & f & f& w & w& f \\ fww & w & w & w & w &w \\ ffw & w & w &w & w&w \\ fwf &w & f & f &w & w \\ wfw & f & f &w & w &w \\ fff & w & w & w & w& w&}[/mm]
>
> Wäre dann eine Tautologie, richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Kannst du nochmal drüber gucken und sagen ob das soweit
> richtig ist und evt. nochmal beim Beweis helfen?
Es ist alles richtig!
>
> Besten Dank
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 So 12.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kannst du nochmal drüber gucken und sagen ob das soweit
> richtig ist und evt. nochmal beim Beweis helfen?
schau nochmal den korrigierten Beitrag von hier; ich hatte dich leider in die falsche Richtung gelenkt. Sorry!
Gruß,
Marcel
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