Lösung Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Fr 22.05.2009 | | Autor: | paul87 |
| Aufgabe | Man gebe alle Lösungen der DGL
[mm] y´*(1+x²)+xy-\bruch{1}{x²}=0 x\not=0
[/mm]
an.
Hinweis: Verwenden Sie zur Lösung eines auftretenden Integrals die Substutition x=sinh(t). |
Kann mir jemand einen Tipp geben bzw einen Ansatz? Ich habe versucht sie zu lösen durch "Trennung" und durch Substitution, aber ich finde einfach keinen Ansatz. Über ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar.
Gruß
Paul
|
|
| |
|
Hallo paul87,
> Man gebe alle Lösungen der DGL
>
> [mm]y´*(1+x²)+xy-\bruch{1}{x²}=0 x\not=0[/mm]
>
> an.
>
> Hinweis: Verwenden Sie zur Lösung eines auftretenden
> Integrals die Substutition x=sinh(t).
> Kann mir jemand einen Tipp geben bzw einen Ansatz? Ich
> habe versucht sie zu lösen durch "Trennung" und durch
> Substitution, aber ich finde einfach keinen Ansatz. Über
> ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar.
Die Differentialgleichung soll doch
[mm]y'*(1+x²)+xy-\bruch{1}{x²}=0 \ x\not=0[/mm]
so heißen.
Verwende hier für y' den einfachen Apostroph.
Nun, es wird zuerst die homogene DGL
[mm]y'*(1+x²)+xy=0[/mm]
durch ![[]](/images/popup.gif) Trennung der Veränderlichen
gelöst.
Anschliessend wird die inhomogene DGL
[mm]y'*(1+x²)+xy=\bruch{1}{x²} \ x\not=0[/mm]
durch Variation der Konstanten
gelöst.
>
> Gruß
> Paul
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Fr 22.05.2009 | | Autor: | paul87 |
Danke für die super schnelle Antwort. Ich werd es gleich mal probieren und meine Lösung hier einstellen.
Nochmals vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Fr 22.05.2009 | | Autor: | paul87 |
Dank der Hilfe hier im Forum habe ich die Lösung gefunden:
[mm] y=\bruch{K(x)}{\wurzel{x²+1}} [/mm] mit [mm] K(x)=-\bruch{\wurzel{x²+1}}{x}
[/mm]
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Lieben Gruß
Paul
|
|
|
| |
|
Hallo paul87,
> Dank der Hilfe hier im Forum habe ich die Lösung gefunden:
>
> [mm]y=\bruch{K(x)}{\wurzel{x²+1}}[/mm] mit
> [mm]K(x)=-\bruch{\wurzel{x²+1}}{x}[/mm]
Das ist nur die Lösung der inhomogenen DGL. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Lösung einer DGL setzt sich zusammen aus der Lösung der homogenen
und aus der Lösung der inhomogenen DGL.
>
> Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
>
> Lieben Gruß
> Paul
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 22.05.2009 | | Autor: | paul87 |
Und wie schreibe ich dann die gesamte Antwort zu der oben gestellten Frage auf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Fr 22.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
in K(x) fehlt die integrationskonstante.
schreib die dazu, dann multipl. dein K(x) mit der Loesung der inh. Dgl und du hast die allgemeine Loesung.
Die allg. Loesung MUSS immer ne Konstante enthalten, die dann von der anfangsbed, z. Bsp y(1) abhaengt, bzw. dadurch erst festgelegt wird.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Fr 22.05.2009 | | Autor: | paul87 |
[mm] y=-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{\wurzel{x²+1}}*C
[/mm]
Ist das die allgemeine Lösung?
|
|
|
| |
|
Hallo paul87,
> [mm]y=-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{\wurzel{x²+1}}*C[/mm]
>
> Ist das die allgemeine Lösung?
>
>
Ja.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
