Lösung Ungleichung gesucht < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Fr 22.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | [mm] \bruch{x}{x-1}\ge \bruch{x+2}{x+3} [/mm]
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Für welche [mm] x\in\IR [/mm] ist diese Ungleichung gültig?
Ich würde sagen, dass x [mm] \not= [/mm] 1 und x [mm] \not= [/mm] -3 sein darf, da sonst die Brüche im Nenner Nullen haben, was ja nicht sein darf.
Zunächst bringe ich mal auf eine Seite:
[mm] \bruch{x}{x-1}-\bruch{x+2}{x+3} \ge [/mm] 0
Dann bringe ich auf einen Nenner:
[mm] \bruch{x(x+3)}{(x-1)(x+3)}-\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-1)} \ge [/mm] 0
Also:
[mm] \bruch{x(x+3)-(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+3)}\ge [/mm] 0
Ich multipliziere zähler und Nenner aus:
[mm] \bruch{x^2+3x-[x^2+x-2]}{x^2+2x-3}\ge [/mm] 0
Noch etwas vereinfachen:
[mm] \bruch{2x+2}{x^2+2x-3}\ge [/mm] 0
Damit nun die Bedingen erfüllt ist, müssen Zähler und Nenner entweder beide Positiv sein oder beide Negativ meine Frage ist nun, wie finde ich die X heraus bei denen das der Fall ist und bei welchen nicht.
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> [mm]\bruch{x}{x-1}\ge \bruch{x+2}{x+3}[/mm]
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> Für welche [mm]x\in\IR[/mm] ist diese Ungleichung gültig?
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> Ich würde sagen, dass x [mm]\not=[/mm] 1 und x [mm]\not=[/mm] -3 sein darf,
> da sonst die Brüche im Nenner Nullen haben, was ja nicht
> sein darf.
Hallo,
ja, das ist wichtig.
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> Zunächst bringe ich mal auf eine Seite:
>
> [mm]\bruch{x}{x-1}-\bruch{x+2}{x+3} \ge[/mm] 0
>
> Dann bringe ich auf einen Nenner:
>
> [mm]\bruch{x(x+3)}{(x-1)(x+3)}-\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-1)} \ge[/mm]
> 0
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> Also:
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> [mm]\bruch{x(x+3)-(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+3)}\ge[/mm] 0
>
> Ich multipliziere zähler und Nenner aus:
>
> [mm]\bruch{x^2+3x-[x^2+x-2]}{x^2+2x-3}\ge[/mm] 0
>
> Noch etwas vereinfachen:
>
> [mm]\bruch{2x+2}{x^2+2x-3}\ge[/mm] 0
>
> Damit nun die Bedingen erfüllt ist, müssen Zähler und
> Nenner entweder beide Positiv sein oder beide Negativ meine
> Frage ist nun, wie finde ich die X heraus bei denen das der
> Fall ist und bei welchen nicht.
Bei dieser Fragestellung ist es besser, wenn Du im Nenner überhaupt nicht ausmultiplizierst.
[mm]\bruch{2x+2}{(x-1)(x+3)}\ge[/mm] 0
<==>
[mm]\bruch{2(x+1)}{(x-1)(x+3)}\ge[/mm] 0 .
Der Nenner ist >0, wenn beide Faktoren im Nenner, also (x-1) und (x+3) größer als Null sind, oder wenn sie beide gleichzeitig kleiner als 0 sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Fr 22.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Der Nenner ist >0, wenn beide Faktoren im Nenner, also (x-1) und (x+3) größer als Null sind, oder wenn sie beide gleichzeitig kleiner als 0 sind. |
OK danke für den Hinweis,
das ist ja augenscheinlich der Fall, wenn x > 1 ist. Damit ist die Gleichung für positive zähler und nenner erfüllt, wie verhält es sich denn nun mit positivem Zähler und negativem nenner bzw umgekehrt oder gibt es diesen Fall nicht aus Gründen die mir nicht klar sind?
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Hallo ganzir,
in [mm] \bruch{2(x+1)}{(x-1)(x+3)}\ge 0 [/mm] steckt zusammen mit Angelas Hinweisen alles drin:
1. Möglichkeit: Nenner und Zähler sind beide größer (Nenner) bzw. größer/gleich 0. Dann ist auch der gesamte Bruch größer als 0. Da im Nenner ein Produkt steht, gibt es da allerdings zwei Fälle, in denen er größer als 0 wird, nämlich einmal, wenn beide Klammern kleiner sind als 0 und dann, wenn beide Klammern größer sind als 0.
2. Möglichkeit: Nenner und Zähler sind beide kleiner (Nenner) bzw. kleiner/gleich 0. Auch dann ist der gesamte Bruch größer als 0. Im Nenner gibt es wieder zwei Möglichkeiten.
Also hast du insgesamt 4 verschiedene Fälle, in jedem Fall hast du 3 Bedingungen für das x, die alle gleichzeitig erfüllt sein müssen. Jetzt kann es passieren, dass sich die Bedingungen widersprechen und dann kann der Fall eben nicht eintreten.
Am Ende ist die "Vereinigung" (Fachbegriff) aller Möglichkeiten für x aus den 4 Fällen deine gesamte Lösungsmenge.
Ein Beispiel hast du ja vollständig aufgeschrieben:
Zähler [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x+1 [mm] \ge0 \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
Nenner > 0 [mm] \gdw [/mm] 1. Fall: beide Klammern >0, also x > 1 und x > -3.
Die Bedingungen sind also alle drei erfüllt, wenn x > 1 gilt.
Das machst du jetzt noch für die anderen drei Fälle und bist fertig.
Gruß,
weightgainer
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