Lösung Variationsungleichung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien [mm] $h\in\mathbb{R}^n$, $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ [/mm] symmetrisch und positiv definit, sowie die disjunkten Indexmengen [mm] $\mathcal{A}_s, \mathcal{I}, \mathcal{B}_1, \mathbcal{B}_2\subseteq \{1,...,n\}$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{A}_s\cup \mathcal{I}\cup \mathcal{B}_1\cup \mathbcal{B}_2=\{1,...,n\}$.
[/mm]
Zeige, dass sich die (existierende und eindeutige) Lösung [mm] $\eta\in\mathcal{K}$ [/mm] der Variationsungleichung
[mm] $$\langle A\eta, v-\eta\rangle \geq \langle h,v-\eta\rangle\quad \forall v\in\mathcal{K} [/mm] $$
mit
$$ [mm] \mathcal{K}:=\left\{v\in\mathbb{R}^n:v_i\begin{cases}\in\mathbb{R},& i\in\mathcal{I}\\ =0,&i\in\mathcal{A}_s\\ \geq0,& i\in\mathcal{B}_1\\ \leq0,& i\in\mathcal{B}_2\end{cases}\right\} [/mm] $$
äquivalent schreiben lässt als
$$ [mm] \eta_i [/mm] = [mm] \begin{cases}((I-A)\eta+h)_i, & i\in\mathcal{I}\\ 0, & i\in\mathcal{A} \\ \max\{0,(I-A)\eta+h\}_i, & i\in \mathcal{B}_1 \\ \min\{0,(I-A)\eta+h\}_i, & i\in\mathcal{B}_2 \end{cases}.$$ [/mm] |
Ich habe angefangen, die Variationsungleichung umzuschreiben in
$$ [mm] \langle h-A\eta,v-\eta\rangle\leq0\quad \forall v\in\mathcal{K}$$ [/mm] $$ [mm] \gdw \sum\limits_{i\in\mathcal{A}_s}(h-A\eta)_i\cdot(v_i-\eta_i) [/mm] + [mm] \sum\limits_{i\in\mathcal{I}}(h-A\eta)_i\cdot(v_i-\eta_i) [/mm] + [mm] \sum\limits_{i\in\mathcal{B}_1}(h-A\eta)_i\cdot(v_i-\eta_i) [/mm] + [mm] \sum\limits_{i\in\mathcal{B}_2}(h-A\eta)_i\cdot(v_i-\eta_i)\leq0\quad\forall v\in\mathcal{K}$$ [/mm] $$ [mm] \overset{\substack{v_i=\eta_i=0, \\ i\in\mathcal{A}_s}}{\gdw} \sum\limits_{i\in\mathcal{I}}(h-A\eta)_i\cdot(v_i-\eta_i) [/mm] + [mm] \sum\limits_{i\in\mathcal{B}_1}(h-A\eta)_i\cdot(v_i-\eta_i) [/mm] + [mm] \sum\limits_{i\in\mathcal{B}_2}(h-A\eta)_i\cdot(v_i-\eta_i)\leq0\quad\forall v\in\mathcal{K}.$$
[/mm]
Dann habe ich die obige Ungleichung mit passenden Elementen [mm] $v\in\mathcal{K}$ [/mm] getestet, sodass ich auf die Aussagen
$$ [mm] i\in\mathcal{I}:\quad (A\eta-h)_i\cdot(s-\eta_i)\leq0\quad\forall s\in\mathbb{R} [/mm] $$ [mm] $$i\in\mathcal{B}_1:\quad (A\eta-h)_i\cdot(s-\eta_i)\geq0\quad\forall s\leq0$$ [/mm] $$ [mm] i\in\mathcal{B}_2:\quad (A\eta-h)_i\cdot(s-\eta_i)\leq0\quad\forall s\leq0$$ [/mm] komme.
Doch hier komme ich nicht weiter. Wie kann ich daraus jetzt die Darstellung der [mm] $\eta_i$ [/mm] bekommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 01.09.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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