Lösung der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Differentialgleichung
[mm] (y*y')^{2}+y^{2}=1
[/mm]
a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung.
b) Zeigen Sie, dass y(x) = 1 und y(x) = -1 auch Lösungen der Differentialgleichung sind (sogenannte singuläre Lösungen). |
Einen schönen guten Abend,
Ich würde die Aufgabe gerne rechnen, doch so eine Art DGL kam mir bisher nicht über den Weg.
Ich habe dennoch versucht, es so umzuformen, sodass ich die Trennung der Variablen durchführen kann...
homogene DGL:
[mm] (y*y')^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 0 | [mm] :y^{2}
[/mm]
[mm] y^{'2} [/mm] = -1
[mm] y^{'} [/mm] = i
y = ix + c
...ja und ab hier wird es das reinste gewurschtel, wenn ich die Konstante variiere mit y = ix + c(x) und [mm] y^{'} [/mm] = i + c'(x) und in die Ausgangsgleichung einsetze.
Ich habe doch mit Sicherheit etwas falsch gemacht, oder etwas wichtiges übersehen?
Liebe Grüße,
Pingumane
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 Fr 07.08.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur lineare Dgl kann man in homogene und inhomogene trennen.
hier würde ich [mm] $z=y^2 [/mm] $ z'=2yy'
[mm] (z'/2)^2+z=1
[/mm]
[mm] z'/2=\wurzel{1-z}
[/mm]
dann Trennung der Variablen.
die 2 Lösungen y=1 und y=-1 kann man direkt durch Einsetzen zeigen. und auch sehen, dass |y|<1 sein muss.
Gruss leduart
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Ah okay, danke. Dass man nichtlineare DGL nicht aufteilt, hatte ich bereits wieder vergessen.
Man braucht aber glaube ich gar nicht zu substituieren:
[mm] (y*y')^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 1
[mm] y^{2}*y'^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 1
[mm] y^{'2} [/mm] + 1 = [mm] \bruch{1}{y^{2}}
[/mm]
[mm] y^{'2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y^{2}} [/mm] - 1
y' = [mm] \wurzel{\bruch{1}{y^{2}} - 1}
[/mm]
Korrigiert mich bitte, falls ich einen Fehler gemacht habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 07.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay, danke. Dass man nichtlineare DGL nicht aufteilt,
> hatte ich bereits wieder vergessen.
>
> Man braucht aber glaube ich gar nicht zu substituieren:
>
> [mm](y*y')^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 1
>
> [mm]y^{2}*y'^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 1
>
> [mm]y^{'2}[/mm] + 1 = [mm]\bruch{1}{y^{2}}[/mm]
>
> [mm]y^{'2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{y^{2}}[/mm] - 1
>
> y' = [mm]\wurzel{\bruch{1}{y^{2}} - 1}[/mm]
...... oder [mm]y'= - \wurzel{\bruch{1}{y^{2}} - 1}[/mm] ......
FRED
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>
> Korrigiert mich bitte, falls ich einen Fehler gemacht habe.
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