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Finde alle Primzahlen p,q und ganzen Zahlen r, [mm] s\ge [/mm] 2, für die gilt:
[mm] |p^{r} [/mm] - [mm] q^{s}|=1
[/mm]
Kann mir jmd. nen Tipp geben, wie ich das lösen soll?
lg
Fischsuppe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Fischsuppe |
*hochschieb*
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Fischsuppe!
> Finde alle Primzahlen p,q und ganzen Zahlen r, [mm]s\ge[/mm] 2,
> für die gilt:
> [mm]|p^{r}[/mm] - [mm]q^{s}|=1[/mm]
OBdA ist [mm] $p^r-q^s=1$ [/mm] (denn: [mm] $p^r-q^s=-1\ \gdw\ q^s-p^r=1$, [/mm] also nur Variablennamen vertauscht)
[mm] $p^r-q^s=1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ p^r=1+q^s$
[/mm]
Falls $q$ ungerade ist, so ist [mm] $1+q^s$ [/mm] gerade. Die einzige gerade Primzahl ist die 2, also $p=2$.
Falls $q$ gerade ist, so ist $q=2$.
[mm] $\gdw\ 2^r=1+q^s$ [/mm] oder [mm] $p^r=1+2^s$
[/mm]
Fall 1. $p=2$, q ungerade und [mm] $2^r=1+q^s$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 2^r-1=q^s$
[/mm]
Falls r gerade ist, steht links eine binomische Formel, also ein Produkt zweier verschiedener Zahlen, die deswegen keine Potenz von q sein können.
Also ist r ungerade:
[mm] $\gdw\ 2^{2*r'+3}-1=(2q'+1)^s$ [/mm] mit [mm] $r'\ge [/mm] 0$ (r war ja [mm] $r\ge [/mm] 2$)
[mm] $\gdw\ 2^{2r'}*8-1=\summe_{k=0}^s {2q'\choose k} (2q')^k 1^{s-k}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 2^{2r'}*8-1=\summe_{k=0}^s {2q'\choose k} (2q')^k$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 2^{2r'}*8-1=1+\summe_{k=1}^s {2q'\choose k} (2q')^k$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 2^{2r'}*8=2+\summe_{k=1}^s {2q'\choose k} 2^k [/mm] q'^k$
[mm] $\gdw\ 2^{2r'}*4=1+\summe_{k=1}^s {2q'\choose k} 2^{k-1} [/mm] q'^k$
[mm] $\gdw\ 2^{2r'}*4=1+(2q')*q'+\summe_{k=2}^s {2q'\choose k} 2^{k-1} [/mm] q'^k$
Dies ist nicht möglich, denn die Zahl links ist durch 2 teilbar, die Zahl rechts aber nicht.
Also keine Lösung für Fall 1.
Fall 2. $q=2$, p ungerade und [mm] $p^r=1+2^s$
[/mm]
Hier folgt auch wieder, dass $r$ ungerade ist.
[mm] $\Rightarrow\ p^r-1=2^s$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ (p-1)*\left(\summe_{k=0}^{r-1} p^k\right)=2^s$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ p-1=2^i$ [/mm] für ein i mit [mm] $1\le i\le [/mm] s$
[mm] $\Rightarrow\ p=2^i+1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \summe_{k=0}^{r-1} p^k=2^{s-i}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \summe_{k=0}^{r-1} (2^i+1)^k=2^{s-i}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \summe_{k=0}^{r-1} \left(\summe_{m=0}^k 2^{im}\right)=2^{s-i}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \summe_{k=0}^{r-1} \left(1+\summe_{m=1}^k 2^{im}\right)=2^{s-i}$
[/mm]
Weiter komme ich grad' nicht.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:58 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Jotwie |
Das stimmt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:18 Mi 30.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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