Lösung der linearen Gleichung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gesucht ist Produktionsvektor [mm] \vec{p}, [/mm] wenn Bedarfsvektor [mm] \vec{x} [/mm] gegeben ist. Folgende Beziehung: [mm] \vec{x}=C\*\vec{p}. [/mm] Nach [mm] \vec{p} [/mm] auflösen.
[mm] C=\pmat{ 42 & 25 & 25 \\ 30 & 32 & 29 \\ 46 & 55 & 50 \\ 33 & 22 & 30 \\ 79 & 11 & 13 }
[/mm]
[mm] \vec{x}=\pmat{ 20100 \\ 18000 \\ 29300 \\ 18100 \\ 27400 }
[/mm]
|
Was ist nun [mm] \vec{p}? [/mm] Und wie komme ich auf diesen? Ich wollte eig. [mm] \vec{x}/C [/mm] rechnen, aber geht nicht.
Resultat ist: [mm] \vec{p}=\pmat{ 300 \\ 100 \\ 200 }
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo!
Du hast ein lineares Gleichungssystem der Form
[mm] $C*\vec{p} [/mm] = [mm] \vec{x}$
[/mm]
Dieses lässt sich zum Beispiel mit der Gauß-Algorithmus lösen. Falls du Inverse berechnen kannst und du weißt, dass das LGS eindeutig lösbar ist, ist auch
[mm] $\vec{p} [/mm] = [mm] C^{-1}*\vec{x}$
[/mm]
möglich ( d.h. von C Inverse bilden und dann Matrizenmultiplikation)
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort. Kannst du mir an meinem Bsp. zeigen, wie man umformt zur inversen Matrix?
Blick da nur sehr beschränkt durch! =)
|
|
|
| |
|
Hallo!
Das mit der Inversen Matrix geht hier gar nicht, wie mir erst jetzt aufgefallen ist, weil C nicht quadratisch ist (man kann nur Inverse von quadratischen Matrizen bilden).
Also wirst du den Gauß-Algorithmus bemühen müssen. Ich kann dir ja mal den Anfang machen:
Zunächst bilden wir die erweiterte Koeffizientenmatrix (C|x):
[mm] \pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 20100 \\ 30 & 32 & 29 & | & 18000 \\ 46 & 55 & 50 & | & 29300 \\ 33 & 22 & 30 & | & 18100 \\ 79 & 11 & 13 & | & 27400 }
[/mm]
Am besten lässt man das aber einen GTR oder ein Programm ausrechnen, weil das nur sinnlose Rechnerei wäre. Dir stehen jetzt zum Lösen drei Operationen zur Verfügung: Du darfst in der Koeffizientenmatrix Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer beliebigen Zahl außer 0 multiplizieren und du darfst ein beliebiges Vielfaches einer Zeile auf eine andere dazuaddieren.
Dein Ziel muss es bei diesen Umformungen sein, eine Matrix der Form
[mm] \pmat{ ? & ?& ? & | & ? \\ 0 & ? & ? & | & ? \\ 0 & 0 & ? & | & ? \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 }
[/mm]
zu erhalten, die so genannte Zeilenstufenform. Du kommst dorthin, indem du die erste Zeile deiner Ausgangskoeffizientenmatrix jeweils so mit einer geeigneten Zahl vervielfachst, dass wenn du sie auf die zweite bzw. dritte usw. Zeile addierst, die Zahl in der ersten Spalte der zweiten, dritten, usw. Zeile 0 wird. Dasselbe danach mit der zweiten Zeile und den darauffolgenden.
Ein Beispiel:
[mm] \pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 20100 \\ 30 & 32 & 29 & | & 18000 \\ 46 & 55 & 50 & | & 29300 \\ 33 & 22 & 30 & | & 18100 \\ 79 & 11 & 13 & | & 27400 }
[/mm]
Multiplizieren der ersten Zeile mit [mm] -\bruch{30}{42} [/mm] und dann addieren der ersten Zeile auf die zweite:
[mm] \pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 20100 \\ 0 & \bruch{99}{7} & \bruch{78}{7} & | & \bruch{25500}{7} \\ 46 & 55 & 50 & | & 29300 \\ 33 & 22 & 30 & | & 18100 \\ 79 & 11 & 13 & | & 27400 }
[/mm]
Nun multiplizieren der zweiten Zeile mit 7, damit es wieder schön aussieht:
[mm] \pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 20100 \\ 0 & 99 & 78 & | & 25500 \\ 46 & 55 & 50 & | & 29300 \\ 33 & 22 & 30 & | & 18100 \\ 79 & 11 & 13 & | & 27400 }
[/mm]
Nun Multiplizieren der ersten Zeile mit [mm] -\bruch{46}{42} [/mm] und dann addieren der ersten Zeile auf die dritte:
[mm] \pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 20100 \\ 0 & 99 & 78 & | & 25500 \\ 0 & \bruch{580}{21} & \bruch{475}{21} & | & \bruch{51000}{7} \\ 33 & 22 & 30 & | & 18100 \\ 79 & 11 & 13 & | & 27400 }
[/mm]
Und nun noch die dritte Zeile mit 21 multiplizieren, damit es hübsch aussieht:
[mm] \pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 20100 \\ 0 & 99 & 78 & | & 25500 \\ 0 & 580 & 475 & | & 153000 \\ 33 & 22 & 30 & | & 18100 \\ 79 & 11 & 13 & | & 27400 }
[/mm]
So produzierst du nun nacheinander in der ersten Spalte Nullen. Danach machst du mit der zweiten Zeile und den darauffolgenden dasselbe. Wenn du dann nur noch eine Zeilenstufenform vorliegen hast, kannst du von unten nach oben die Lösung ablesen.
----
Noch ein kleiner Trick: Man kann das natürlich auch mit Taschenrechnern ausrechnen, nur unterstützen die meist kein überbestimmtes Gleichungssystem. Wenn ein Gleichungssystem überbestimmt ist, heißt das ja, dass im Grunde weniger Gleichungen (Bedingungen) ausreichen würden, um dieselbe Lösung zu beschreiben. Deswegen kann man manchmal einfach bestimmte Gleichungen weglassen und die Lösungsmenge verändert sich nicht. Bei dir kann man zum Beispiel die 4. und 5. Zeile der Matrix bzw. des x-Vektors weglassen, damit beeinträchtigst du die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht, hast aber nun eine quadratische Matrix. Damit kannst du auch die Variante mit dem Inversen zur Lösung verwenden.
Dein LGS lautet also dann:
[mm] \pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 20100 \\ 30 & 32 & 29 & | & 18000 \\ 46 & 55 & 50 & | & 29300 }
[/mm]
bzw. deine Matrix C:
$C = [mm] \pmat{ 42 & 25 & 25 \\ 30 & 32 & 29 \\ 46 & 55 & 50}$
[/mm]
Um das Inverse [mm] C^{-1} [/mm] dieser Matrix zu bestimmen, baust du dir zunächst die folgende Koeffizientenmatrix:
[mm] $\pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 1 & 0 & 0 \\ 30 & 32 & 29 & | & 0 & 1 & 0 \\ 46 & 55 & 50 & | & 0 & 0 & 1 }$
[/mm]
Du hast nun dieselben Möglichkeiten zur Verfügung wie oben beim Gauß-Algorithmus, und dein Ziel ist es, auf der linken Seite die Einheitsmatrix stehen zu haben:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 & | & ? & ? & ? \\ 0 & 1 & 0 & | & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & | & ? & ? & ?}$
[/mm]
Auf der rechten Seite steht dann das Inverse. Wenn du den Gauß-Algorithmus anwendest, um zu dem Ziel zu kommen, musst du die rechte Seite immer mit verändern. Du gehst nun folgendermaßen vor.
1. Zeilenstufenform
2. Auf der Diagonalen Einsen erzeugen durch geeeignete Multiplikation
3. Die restliche Zahlen auf der linken Seite durch Addieren der Zeilen eliminieren.
Beispiel:
[mm] $\pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 1 & 0 & 0 \\ 30 & 32 & 29 & | & 0 & 1 & 0 \\ 46 & 55 & 50 & | & 0 & 0 & 1 }$
[/mm]
Wie oben beim Gauß-Algorithmus führen wir zunächst die beiden Eliminierungen durch (die rechte Seite verändert sich entsprechend, nachrechnen!):
[mm] \pmat{ 42 & 25 & 25 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 99 & 78 & | & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 580 & 475 & | & -23 & 0 & 1 }
[/mm]
Nun bist du dran!
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
|
